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Autor Tema: Quadrilateral problem  (Leído 178 veces)
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« : 22/10/2019, 11:32:27 am »

Let [texx]A(z_{1}),B(z_{2}),C(Z_{3})[/texx] and [texx]D(z_{4})[/texx] are the vertices of an Trepezium in an Argand plane

Let [texx]|z_{1}-z_{2}|=4,|z_{3}-z_{4}|=10[/texx] and Diagonal [texx]AC[/texx] and [texx]BD[/texx] intersect

at [texx]P.[/texx] It is given that [texx]\displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}\bigg)=\frac{\pi}{2}[/texx] and [texx]\displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}=\frac{\pi}{4}\bigg).[/texx]

Then area of Triangle [texx]\displaystyle PCB[/texx] and [texx]|CP-DP|[/texx] is
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 23/10/2019, 05:00:20 am »

Hi

Let [texx]A(z_{1}),B(z_{2}),C(Z_{3})[/texx] and [texx]D(z_{4})[/texx] are the vertices of an Trepezium in an Argand plane

Let [texx]|z_{1}-z_{2}|=4,|z_{3}-z_{4}|=10[/texx] and Diagonal [texx]AC[/texx] and [texx]BD[/texx] intersect

at [texx]P.[/texx] It is given that [texx]\displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}\bigg)=\frac{\pi}{2}[/texx] and [texx]\displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}=\frac{\pi}{4}\bigg).[/texx]

Then area of Triangle [texx]\displaystyle PCB[/texx] and [texx]|CP-DP|[/texx] is

Hint:



Best regards.

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« Respuesta #2 : 01/11/2019, 06:46:44 am »

Thanks Admin Got it.

please explain me how i find [texx]|PC-PD|[/texx]
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martiniano
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« Respuesta #3 : 09/11/2019, 06:33:38 am »

Hola.



Me acabo de acordar de que este problema se nos quedó en el tintero. Yo lo que he pensado es, sobre el dibujo de Luis, considerar la paralela a la recta [texx]BC[/texx] que pasa por [texx]A[/texx] y su intersección, [texx]C'[/texx], con [texx]DC[/texx]. Entonces, aplicando el teorema del coseno a [texx]DAC'[/texx] tenemos:

[texx]6^2=AD^2+AC'^2-2AD\cdot{}AC'\cos45\,\Rightarrow{}[/texx]
[texx]36=x^2+\left(\displaystyle\frac{2y}{5}\right)^2+y^2+\left(\displaystyle\frac{2x}{5}\right)^2-2\cdot{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}}\cdot{}\sqrt[ ]{\left(x^2+\left(\displaystyle\frac{2y}{5}\right)^2\right)\cdot{}\left(y^2+\left(\displaystyle\frac{2x}{5}\right)^2\right)}\;\Rightarrow{}[/texx]
[texx]36=10^2+\displaystyle\frac{4}{25}\cdot{10^2}-\sqrt[ ]{2}\cdot{}\sqrt[ ]{\left(x^2y^2+\displaystyle\frac{4}{25}\cdot{}(x^4+y^4)+\displaystyle\frac{16}{625}\cdot{}x^2y^2\right)}\;\Rightarrow{}[/texx]
[texx]80=\sqrt[ ]{2}\cdot{}\sqrt[ ]{\left(x^2y^2+\displaystyle\frac{4}{25}\cdot{}((x^2+y^2))^2-\displaystyle\frac{8}{25}x^2y^2+\displaystyle\frac{16}{625}\cdot{}x^2y^2\right)}\;\Rightarrow{}[/texx]
[texx]6400=2\cdot{}\left(\displaystyle\frac{441}{625}\cdot{}x^2y^2+\displaystyle\frac{4}{25}\cdot{}\left(10^2\right)^2\right)\;\Rightarrow{}[/texx]
[texx]xy=\displaystyle\frac{10^3}{21}[/texx]

Por tanto:

[texx]x-y=\sqrt[ ]{(x-y)^2}=\sqrt[ ]{x^2+y^2-2xy}=\sqrt[ ]{10^2-2\cdot{}\displaystyle\frac{10^3}{21}}=...[/texx]

Repasar las cuentas... Un saludo.

PD. Revisa también el enunciado...

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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 10/11/2019, 07:59:15 am »

Hola

[texx]x-y=\sqrt[ ]{(x-y)^2}=\sqrt[ ]{x^2+y^2-2xy}=\sqrt[ ]{10^2-2\cdot{}\displaystyle\frac{10^3}{21}}=...[/texx]

Repasar las cuentas... Un saludo.

Está bien.  Aplauso

Saludos.
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« Respuesta #5 : 11/11/2019, 11:24:49 am »

Thanks martiniano and Admin
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