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Autor Tema: funciones semicontinuas  (Leído 143 veces)
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jpsilva
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« : 16/10/2019, 13:19:27 »

Buenas
Tengo este ejercicio, queria saber si alguien me puede ayudar con la demostración.
Una función f que es semicontinua superior en un espacio métrico compacto está limitada desde arriba y tiene un máximo.
Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 17/10/2019, 06:28:10 »

Hola

Buenas
Tengo este ejercicio, queria saber si alguien me puede ayudar con la demostración.
Una función f que es semicontinua superior en un espacio métrico compacto está limitada desde arriba y tiene un máximo.
Saludos

1) Primero veamos que es acotada superiormente. En caso contrario para cada [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] existe [texx]x_n\in X[/texx] tal que [texx]f(x_n)>n[/texx].

Por ser [texx]X[/texx] compacto la sucesión [texx]\{x_n\}[/texx] tiene una subsucesión convergente [texx]\{x_{n_k}\}\to x[/texx].

Por ser semicontinua superior existe [texx]\delta>0[/texx] tal que si [texx]0<|y-x|<\delta[/texx] entonces [texx]f(y)\leq f(x)+1[/texx].

Pero tomando [texx]n_k[/texx] tal que [texx]|x_{n_k}-x|<\delta[/texx] y [texx]n_k>f(x)+1[/texx] se tiene que:

[texx]n_k<f(x_{n_k})\leq f(x)+1<n_k[/texx]  ¡Contradicción!.

2) Veamos ahora que tiene máximo. Por estar acotada superiormente el conjunto imagen tiene supremo [texx]s[/texx].

Entonces para todo [texx]n>0[/texx] existe un [texx]x_n[/texx] tal que [texx]s-\dfrac{1}{n}<f(x_n)\leq s[/texx].

De nuevo por ser [texx]X[/texx] compacto, [texx]\{x_n\}[/texx] tiene una subsucesión convergente [texx]\{x_{n_k}\}\to x[/texx].

Por ser [texx]f[/texx] semicontinua para todo [texx]m>0[/texx] existe un [texx]\delta_m[/texx] tal que si

[texx]|y-x|<\delta_m[/texx] entonces [texx]f(y)\leq f(x)+\dfrac{1}{m}[/texx]

Ahora para [texx]k>k_0[/texx] se tiene que [texx]|x_{n_k}-x|<\delta_M[/texx] y por tanto:

[texx]s-\dfrac{1}{n_k}<f(x_{n_k})\leq f(x)+\dfrac{1}{m}[/texx]

Cuando [texx]k\to \infty[/texx] se obtiene:

[texx]s\leq f(x)+\dfrac{1}{m}[/texx]

es decir:

[texx]s-\dfrac{1}{m}\leq f(x)\leq s[/texx]

y cuando [texx]m\to\infty[/texx] se concluye que [texx]f(x)=s[/texx].

Saludos.
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