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Autor Tema: Base de Schauder para c_0  (Leído 294 veces)
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Brahiam
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« : 16/10/2019, 00:01:32 »

Buenas noches, he tenido dificultad en resolver estos tres problemas los cuales son preparatorios para un examen, les agradecería mucho su ayuda:

1) Recuerde que [texx]c_0=\{(x_k)\subset \mathbb{C} | \lim_{k \to \infty}{x_k}=0 \}[/texx]. Considere [texx]c_0[/texx] como un subespacio normado de [texx]\ell^\infty[/texx]. Mostrar que [texx](e_k)[/texx] es una base de Shauder para [texx]c_0[/texx].

2) Sea [texx](X,|| \ ||)[/texx] un espacio normado. Sea [texx]\rho>1[/texx]. Suponga que [texx](x_k\subset X)[/texx] converge a algún [texx]z\in X[/texx] con [texx]||z||\leq \rho[/texx]. Mostrar que

                                            [texx]\displaystyle\lim_{k \to \infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}
                                              {||x_k||^{2n}+1}}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}{||z||^{2n}+1}}[/texx] .

 3) Para cada espacio de Banach [texx](X,|| \ ||)[/texx] distinto de cero, mostrar que existe [texx](u_k)\subset X[/texx] tal que [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{u_k}[/texx] converja en [texx](X,|| \ ||)[/texx] pero [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{||u_k||}=\infty[/texx].
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 16/10/2019, 07:45:53 »

Hola

Buenas noches, he tenido dificultad en resolver estos tres problemas los cuales son preparatorios para un examen, les agradecería mucho su ayuda:

1) Recuerde que [texx]c_0=\{(x_k)\subset \mathbb{C} | \lim_{k \to \infty}{x_k}=0 \}[/texx]. Considere [texx]c_0[/texx] como un subespacio normado de [texx]\ell^\infty[/texx]. Mostrar que [texx](e_k)[/texx] es una base de Shauder para [texx]c_0[/texx].

¿No es muy inmediato? Dado [texx](x_n)\in c_0[/texx] prueba que:

[texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}x_k(e_k)=(x_n)[/texx]

Basta tener en cuenta que:

[texx]\left \|\displaystyle\sum_{k=1}^tx_k(e_k)-(x_n)\right\|_\infty=sup\{\|x_k\||k>t\}[/texx]

como la sucesión [texx]x_n\to 0[/texx] entonces ese supremo converge a cero.

Para la unicidad basta probar que si:

[texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k(e_k)=0[/texx] entonces cada [texx]x_k=0[/texx]

Basta tener en cuenta que si algún [texx]x_{k_0}\neq 0[/texx] entonces para[texx] t>k_0[/texx]:

[texx]\left \|\displaystyle\sum_{k=1}^tx_k(e_k)\right\|_\infty\geq \|x_{k_0}\|[/texx]

Cita
2) Sea [texx](X,|| \ ||)[/texx] un espacio normado. Sea [texx]\rho>1[/texx]. Suponga que [texx](x_k\subset X)[/texx] converge a algún [texx]z\in X[/texx] con [texx]||z||\leq \rho[/texx]. Mostrar que

                                            [texx]\displaystyle\lim_{k \to \infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}
                                              {||x_k||^{2n}+1}}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}{||z||^{2n}+1}}[/texx] .

Intenta probar que la serie:

[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{x^n+1}[/texx]

define una función continua. Luego compón con la norma y utiliza que las funciones continuas son secuencialmente continuas.

Cita
3) Para cada espacio de Banach [texx](X,|| \ ||)[/texx] distinto de cero, mostrar que existe [texx](u_k)\subset X[/texx] tal que [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{u_k}[/texx] converja en [texx](X,|| \ ||)[/texx] pero [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{||u_k||}=\infty[/texx].

Dado [texx]x\in X[/texx] no nulo toma:

[texx]u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\cdot x[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #2 : 18/10/2019, 16:33:04 »

 
Cita
2) Sea [texx](X,|| \ ||)[/texx] un espacio normado. Sea [texx]\rho>1[/texx]. Suponga que [texx](x_k\subset X)[/texx] converge a algún [texx]z\in X[/texx] con [texx]||z||\leq \rho[/texx]. Mostrar que

                                            [texx]\displaystyle\lim_{k \to \infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}
                                              {||x_k||^{2n}+1}}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \displaystyle\frac{1}{||z||^{2n}+1}}[/texx] .
Intenta probar que la serie:

[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{x^n+1}[/texx]

define una función continua. Luego compón con la norma y utiliza que las funciones continuas son secuencialmente continuas.

 
Luis Fuentes no entendí bien lo que me quieres decir. yo traté de hacerlo utilizando la definición de límite. con un [texx]\epsilon>0[/texx] dado pero no he podido concluir.
 
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« Respuesta #3 : 20/10/2019, 12:19:46 »

Hola

Luis Fuentes no entendí bien lo que me quieres decir. yo traté de hacerlo utilizando la definición de límite. con un [texx]\epsilon>0[/texx] dado pero no he podido concluir.

Lo que dijo es lo siguiente. Considera la función:

[texx]f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{x^n+1}[/texx]

y supón que es continua. Ahora la composición:

[texx]g:X\to \mathbb{R},\quad g(x)=f(\|x\|)[/texx]

continua por ser composición de continuas (la norma lo es). Entonces es secuencialmente continua y:

[texx]x_k\to z[/texx] implica [texx]g(x_k)\to g(z)[/texx]

Para la continuidad de [texx]f[/texx]: en primer lugar sospecho que tienes una errata en el enunciado y debería de ser [texx]\|z\|\geq \rho>1[/texx] ya que fíjate que si [texx]\|z\|<1[/texx] entonces la serie:

[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{\|z\|^{2n}+1}[/texx]

no converge (basta comparar con la serie tipo armónica [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty1/(z^2)^n[/texx].).

Ahora con la hipótesis que digo para [texx]k[/texx] suficientemente alto [texx]\|x_k\|>\alpha>1[/texx] y entonces:

[texx]\dfrac{1}{\|x_k\|^{2n}+1}\leq \dfrac{1}{(\alpha)^2+1}[/texx]

Dado que la serie [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{(\alpha)^2+1}[/texx] es convergente, por el criterio mayorante de Weierstrass la serie funcional que define [texx]f[/texx] converge uniformemente a una función continua.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 30/10/2019, 13:32:30 »

Así es Luis Fuentes, cometí ese error al escribir es ejercicio, [texx]|z| [/texx] tiene que ser mayor o igual que [texx]\rho[/texx].  Muchas gracias.
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