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Autor Tema: Intersección de subconjuntos compactos  (Leído 149 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
carixto
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« : 13 Octubre, 2019, 21:10 »

Hola
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 14 Octubre, 2019, 03:23 »

Hola

Hola
Traigo un ejercicio de materia que me es nueva. Estaría muy agradecida si me pueden ayudar
1.La intersección de cualquier número de subconjuntos compactos de un espacio métrico es un conjunto compacto.

Si no fuera de mucha molestia, me gustaría que por favor no omitieran pasos.

Es una propiedad fácil de probar, aunque para los detalles es necesario saber que definición de compacidad te han dado (y posibles caracterizaciones equivalentes) y que resultados previos conoces.

Por ejemplo si te han dado esta definición/caracterización: un conjunto es compacto si toda sucesión tiene una subsucesión convergente.

Sea [texx]\{x_n\}[/texx] una sucesión contenida en una intersección de compactos [texx]\displaystyle\bigcap K_\alpha.[/texx] Por ser uno de ellos compacto, digamos [texx]K_0[/texx], la sucesión tiene una subsucesión [texx]\{x_{n_k}\}[/texx] convergente a [texx]x\in K_0[/texx].

Ahora esa subsucesión está contenida en cualquier otro compacto [texx]K_\alpha[/texx] de tu familia de compactos. Tiene entonces una subsucesión convergente que converge a [texx]x_\alpha\in K_\alpha[/texx].

Pero cualquier subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo número, luego [texx]x_\alpha=x[/texx] y así [texx]x\in \displaystyle\bigcap K_\alpha[/texx].

Saludos.
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