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Autor Tema: Subgrupo normal de G  (Leído 49 veces)
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Julio_fmat
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« : 12/10/2019, 10:31:27 pm »

Sea [texx](G,*)[/texx] un grupo y [texx]\text{diag}(G)=\{(g,g): g\in G\}\subset G\oplus G.[/texx] Probar que [texx]\text{diag}(G)[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G\oplus G[/texx] si y solo si [texx](G,*)[/texx] es abeliano. Si [texx](G,*)[/texx] es finito, encontrar el indice de [texx]\text{diag}(G)[/texx] en [texx]G\oplus G.[/texx]
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"Haz de las Matemáticas tu pasión".
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/10/2019, 03:38:37 pm »

Hola

Sea [texx](G,*)[/texx] un grupo y [texx]\text{diag}(G)=\{(g,g): g\in G\}\subset G\oplus G.[/texx] Probar que [texx]\text{diag}(G)[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G\oplus G[/texx] si y solo si [texx](G,*)[/texx] es abeliano. Si [texx](G,*)[/texx] es finito, encontrar el indice de [texx]\text{diag}(G)[/texx] en [texx]G\oplus G.[/texx]

Si el grupo es abeliano es inmediato que el subgrupo es normal.

Recíprocamente si es normal entonces [texx](h,1)^{-1}(g,g)(h,1)\in diag(G)[/texx] para todo [texx]h,g\in G[/texx].

Es decir:

Si es normal entonces [texx](h^{-1}gh,g)\in diag(G)[/texx] para todo [texx]h,g\in G[/texx]. Equivalentemente [texx]h^{-1}gh=g[/texx].

En cuanto al índice ten en cuenta que para grupos cocientes el índice de un subgrupo es el orden del grupo dividido entre el orden del subgrupo.

Saludos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 14/10/2019, 08:24:27 pm »

Hola

Sea [texx](G,*)[/texx] un grupo y [texx]\text{diag}(G)=\{(g,g): g\in G\}\subset G\oplus G.[/texx] Probar que [texx]\text{diag}(G)[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G\oplus G[/texx] si y solo si [texx](G,*)[/texx] es abeliano. Si [texx](G,*)[/texx] es finito, encontrar el indice de [texx]\text{diag}(G)[/texx] en [texx]G\oplus G.[/texx]

Si el grupo es abeliano es inmediato que el subgrupo es normal.

Recíprocamente si es normal entonces [texx](h,1)^{-1}(g,g)(h,1)\in diag(G)[/texx] para todo [texx]h,g\in G[/texx].

Es decir:

Si es normal entonces [texx](h^{-1}gh,g)\in diag(G)[/texx] para todo [texx]h,g\in G[/texx]. Equivalentemente [texx]h^{-1}gh=g[/texx].

En cuanto al índice ten en cuenta que para grupos cocientes el índice de un subgrupo es el orden del grupo dividido entre el orden del subgrupo.

Saludos.

Muchas gracias, me ha quedado claro.  Aplauso

Saludos.
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