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Autor Tema: El lema de Nakayama  (Leído 235 veces)
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malboro
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« : 10/10/2019, 01:25:58 pm »

Hola.

Estoy viendo el libro de Jean Pierre Serre titulado  " local algebra ".

En el inicio del capítulo 1 enuncian el lema de Nakayama. Cambiare algunas notaciones y colocaré lo que dice el libro.

Proposition 1. Sea [texx]M[/texx] es un [texx]A[/texx]-módulo finitamente generado e [texx]I[/texx] un ideal de [texx]A[/texx] contenido en el radical de Jacobson de [texx]A[/texx].
 Si  [texx]IM = M[/texx] entonces  [texx]M=0[/texx].
Prueba:
Supongamos que [texx]M\neq{0}[/texx] entonces tiene un cociente que es un módulo simple (no entiendo bien: cómo así tiene un cociente?), por tanto  es isomorfo a [texx]\displaystyle\frac{A}{m}[/texx],  con [texx]m[/texx] ideal maximal de [texx]A[/texx].

Gracias
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 10/10/2019, 03:12:38 pm »

Hola

 Si [texx]M[/texx] está finitamente generado puede encontrase un submódulo [texx]N[/texx] tal que el cociente [texx]M/N[/texx] es simple, es decir, está generado por un sólo elemento.

 Esto puede probarse por inducción en el número de generadores de [texx]M[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #2 : 11/10/2019, 08:58:55 am »

Gracias Manco.

Continuando con la prueba entonces tenemos [texx]M/N \cong A/m[/texx] y luego necesito relacionar con un contenido al maximal [texx]m[/texx] y también al módulo  [texx]M[/texx] para conseguir que [texx]mM\neq M[/texx]. Qué consigo de ese isomorfismo?

saludos

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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 11/10/2019, 09:53:29 am »

Hola

Continuando con la prueba entonces tenemos [texx]M/N \cong A/m[/texx] y luego necesito relacionar con un contenido al maximal [texx]m[/texx] y también al módulo  [texx]M[/texx] para conseguir que [texx]mM\neq M[/texx]. Qué consigo de ese isomorfismo?

Ten en cuenta que en [texx]A/m[/texx], [texx]m[/texx] anula todo los elementos ([texx]m[x ]=[0][/texx] para todo [texx][x ]\in A/m[/texx]). Por tanto [texx]m[/texx] anula todos los elementos en [texx]M/N[/texx] y así [texx]mM\subset N\neq M[/texx].

Como [texx]I[/texx] está en el radical de Jacobson está en el ideal maximal [texx]m[/texx]. Por tanto [texx]IM\subset mM\subset N\neq M[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #4 : 11/10/2019, 11:58:10 am »

Gracias Manco.

Si quitamos la hipótesis de [texx]I[/texx] está contenido en el radical de Jacobson de [texx]A[/texx] y colocamos que el anillo [texx]A[/texx] es local. La prueba es la misma ?

Saludos
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« Respuesta #5 : 11/10/2019, 02:42:23 pm »

Hola

Si quitamos la hipótesis de [texx]I[/texx] está contenido en el radical de Jacobson de [texx]A[/texx] y colocamos que el anillo [texx]A[/texx] es local. La prueba es la misma ?

Si. De hecho si es anillo local sólo tiene un maximal que necesariamente contiene a [texx]I[/texx] y coincide con el radical de Jacobson.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 12/10/2019, 02:36:55 pm »

Muchas gracias Manco.

Hay alguna razón para es  cambio de hipótesis? porque la prueba es la misma.

saludos
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« Respuesta #7 : 13/10/2019, 03:06:54 pm »

Hola

Hay alguna razón para es  cambio de hipótesis? porque la prueba es la misma.

En realidad el caso del anillo local simplemente se puede ver como un caso particular del Lema de Nakayama, ya que todo ideal está contenido en su único ideal maximal que es el radical de Jacobson.

Dicho esto no entiendo muy bien el sentido de tu pregunta.

Saludos.
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