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Autor Tema: La existencia de un submódulo tal que el cociente sea simple  (Leído 251 veces)
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malboro
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« : 12/10/2019, 15:03:49 »

Hola

Estoy queriendo probar una afirmación que el Manco comentó en el siguiente hilo: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110846.0 .
Ojo: [texx]A[/texx] es anillo conmutativo con identidad.
Afirmación del hilo:
Si [texx]M\neq{0}[/texx] es un [texx]A[/texx]-módulo finitamente generado  entonces existe un submódulo [texx]N\neq{M}[/texx] tal que [texx]\displaystyle\frac{M}{N}[/texx] es simple.

Prueba:

Usaremos la siguiente afirmación:

[texx]M\neq{0}[/texx] es simple sí y solo si para cada [texx]0\neq{m}\in M[/texx] se tiene que [texx]M=<m>[/texx] (ejercicio).



Supongamos que [texx]\left\{{m_1,...,m_k}\right\}[/texx] son los generadores de [texx]M[/texx].

Inducción sobre [texx]k[/texx].\

Para [texx]k=1[/texx]

Tenemos que [texx]<m_1>=M[/texx]. Si consideramos un [texx]m_0\in M[/texx] tal que [texx]m_0\neq{m_1}[/texx] entonces [texx]<m_0>[/texx] es un submódulo de [texx]M[/texx].
Afirmación: [texx]\displaystyle\frac{M}{<m_0>}[/texx] es simple. El razonamiento está bien?  (En este caso [texx]N=<m_0>[/texx]).

Y para lo que sigue de la inducción ?

Gracias
 



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Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
geómetracat
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« Respuesta #1 : 12/10/2019, 15:31:22 »

Yo creo que es mejor demostrarlo vía lema de Zorn. Basta ver que existe un submódulo propio maximal [texx]N[/texx] de [texx]M[/texx], pues en ese caso [texx]M/N[/texx] es simple.

Para ver que hay un submódulo propio maximal aplicamos el lema de Zorn. Lo único que hay que comprobar es que dada una cadena de submódulos propios [texx]N_0 \subseteq N_1 \subseteq ...[/texx] de [texx]M[/texx], su unión también es un submódulo propio.
La unión es claramente un submódulo, así que lo único que hay que comprobar es que no sea todo [texx]M[/texx]. Pero si la unión fuera todo [texx]M[/texx], como [texx]M[/texx] es finitamente generado, [texx]M=(m_1, \dots, m_n)[/texx], existe un [texx]k[/texx] tal que [texx]N_k[/texx] contiene [texx]m_1, \dots, m_n[/texx]. Luego [texx]N_k=M[/texx], contradicción pues la cadena era de submódulos propios.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
malboro
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« Respuesta #2 : 12/10/2019, 17:36:16 »

Muchas gracias Geómetracat.

[texx]M/N[/texx] es simple porque los submódulos de ese cociente se identifican con los submódulos de M que contienen  N ?
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« Respuesta #3 : 12/10/2019, 20:04:25 »

Sí, exacto. Como [texx]N[/texx] es maximal, [texx]M/N[/texx] no puede tener submódulos propios más que el cero.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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