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Autor Tema: Propiedad de primos  (Leído 181 veces)
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Julio_fmat
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« : 21/09/2019, 08:46:30 am »

Sea [texx]p[/texx] un primo tal que [texx]p| 5^p-2^p.[/texx] Mostrar que [texx]p=3.[/texx]

Hola, lo desarrolle de la siguiente manera:

[texx]\begin{eqnarray*}
p| 5^p-2^p &\iff & p| (5-2)(5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2+\cdots +2^{p-1})\\
&\iff & p| 3\cdot (5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2 +\cdots +2^{p-1})\\
&\iff & p|3 \vee p| 5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2 +\cdots +2^{p-1})
\end{eqnarray*}
[/texx]

Lo ultimo es por el Lema de Euclides, pues [texx]p[/texx] es primo. Como [texx]p|3[/texx], entonces [texx]3=pk[/texx] con [texx]k\in \mathbb{Z}.[/texx] ¿Pero esto ultimo implica que [texx]p=3[/texx]?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 21/09/2019, 09:57:06 am »

Hola

Sea [texx]p[/texx] un primo tal que [texx]p| 5^p-2^p.[/texx] Mostrar que [texx]p=3.[/texx]

Hola, lo desarrolle de la siguiente manera:

[texx]\begin{eqnarray*}
p| 5^p-2^p &\iff & p| (5-2)(5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2+\cdots +2^{p-1})\\
&\iff & p| 3\cdot (5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2 +\cdots +2^{p-1})\\
&\iff & p|3 \vee p| 5^{p-1}+5^{p-2}\cdot 2 +\cdots +2^{p-1})
\end{eqnarray*}
[/texx]

Lo ultimo es por el Lema de Euclides, pues [texx]p[/texx] es primo. Como [texx]p|3[/texx], entonces [texx]3=pk[/texx] con [texx]k\in \mathbb{Z}.[/texx] ¿Pero esto ultimo implica que [texx]p=3[/texx]?

Ten en cuenta que por el pequeño Teorema de Fermat, [texx]5^{p}=5[/texx] y [texx]2^{p}=2[/texx] mod [texx]p[/texx].

Por tanto [texx]5^p-2^p=5-2=3[/texx] mod [texx]p[/texx].

Pero si [texx]p[/texx] divide a [texx]5^p-2^p[/texx] entonces [texx]5^p-2^p=0[/texx] mod [texx]p[/texx].

Concluye...

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #2 : 11/11/2019, 07:51:31 am »

Hola.

Perdón por la intromisión, pero me gustaría dar mi opinión sobre algo.

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Saludos.
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