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Autor Tema: Derivadas y diferenciales (dudas)  (Leído 408 veces)
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SuperIngeniero
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« : 03 Octubre, 2019, 00:52 »

Buen día,

Una vez oí de un profesor que la derivada era una formula fija y que no se podía separar: [texx]\displaystyle\lim_{h \to 0}{\frac{ f(x+h) - f(x)}{h}}[/texx], sin embargo, yo sé que el límite es distributivo para la división y en ecuaciones diferenciales y en Física se separa la dy de la dx. Entonces, ¿por qué se dice que la derivada es una fórmula fija si se puede separar? ¿son lo mismo la derivada y la división de dos diferenciales separables?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 03 Octubre, 2019, 04:48 »

Hola

Buen día,

Una vez oí de un profesor que la derivada era una formula fija y que no se podía separar: [texx]\displaystyle\lim_{h \to 0}{\frac{ f(x+h) - f(x)}{h}}[/texx],

Sinceramente no se en que estaba pensando tu profesor cuando hizo esa afirmación. No digo ni que esté bien ni que esté mal. No entiendo que significado preciso pretende darle.

La derivada se define como el límite que escribe y hereda simplemente todas las consideraciones y matices que puedas hacer sobre los límites.

Cita
sin embargo, yo sé que el límite es distributivo para la división

No sé si te refieres a esto:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to x_0}{}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)}[/texx]

Eso es cierto siempre que los dos límites de la derecha existan y [texx]\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)\neq 0[/texx].

Es decir uno puede aplicar cualquier propiedad válida para límites en el límite que define la derivada; pero...¡válidas!.

Cita
y en ecuaciones diferenciales y en Física se separa la dy de la dx. Entonces, ¿por qué se dice que la derivada es una fórmula fija si se puede separar? ¿son lo mismo la derivada y la división de dos diferenciales separables?

La [texx]dx[/texx] y [texx]dy[/texx] en esos casos son notaciones. Dependiendo del contexto y el significado preciso a veces se denota la derivada de una funcíon [texx]f(x)[/texx] escribiendo [texx]y=f(x)[/texx] y [texx]y'=f'(x)=\dfrac{dy}{dx}[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #2 : 05 Octubre, 2019, 14:28 »

Hola

Buen día,

Una vez oí de un profesor que la derivada era una formula fija y que no se podía separar: [texx]\displaystyle\lim_{h \to 0}{\frac{ f(x+h) - f(x)}{h}}[/texx],

Sinceramente no se en que estaba pensando tu profesor cuando hizo esa afirmación. No digo ni que esté bien ni que esté mal. No entiendo que significado preciso pretende darle.

La derivada se define como el límite que escribe y hereda simplemente todas las consideraciones y matices que puedas hacer sobre los límites.

Cita
sin embargo, yo sé que el límite es distributivo para la división

No sé si te refieres a esto:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to x_0}{}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)}[/texx]

Eso es cierto siempre que los dos límites de la derecha existan y [texx]\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)\neq 0[/texx].

Es decir uno puede aplicar cualquier propiedad válida para límites en el límite que define la derivada; pero...¡válidas!.

Cita
y en ecuaciones diferenciales y en Física se separa la dy de la dx. Entonces, ¿por qué se dice que la derivada es una fórmula fija si se puede separar? ¿son lo mismo la derivada y la división de dos diferenciales separables?

La [texx]dx[/texx] y [texx]dy[/texx] en esos casos son notaciones. Dependiendo del contexto y el significado preciso a veces se denota la derivada de una funcíon [texx]f(x)[/texx] escribiendo [texx]y=f(x)[/texx] y [texx]y'=f'(x)=\dfrac{dy}{dx}[/texx].

Saludos.

Hola, gracias por responder.

Me queda una duda:

Si tengo una división de diferenciales [texx]\dfrac{dy}{dx}[/texx], ¿puedo asumir que es una derivada? y al reves, si tengo una derivada denotada [texx]\dfrac{dy}{dx}[/texx] ¿puedo separarlas en diferenciales sin ningún problema o qué condiciones se necesita?

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 07 Octubre, 2019, 06:51 »

Hola

Si tengo una divsión de diferenciales [texx]\dfrac{dy}{dx}[/texx], ¿puedo asumir que es una derivada?

Es que eso no es una división de diferenciales sino una notación para referirse a una derivada.

Cita
y al reves, si tengo una derivada denotada [texx]\dfrac{dy}{dx}[/texx] ¿puedo separarlas en diferenciales sin ningún problema o qué condiciones se necesita?

Si tienes:

[texx]\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)[/texx]

equivale a:

[texx]dy=f(x,y)dx[/texx]

Pero son notaciones.

Saludos.

P.D. Te citaría algunos hilos del foro sobre esta cuestión.. pero por esta vez voy a acudir a fuentes ajenas:

https://math.stackexchange.com/questions/1784671/when-can-we-not-treat-differentials-as-fractions-and-when-is-it-perfectly-ok
https://math.stackexchange.com/questions/21199/is-frac-textrmdy-textrmdx-not-a-ratio
https://mathoverflow.net/questions/73492/how-misleading-is-it-to-regard-fracdydx-as-a-fraction
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SuperIngeniero
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« Respuesta #4 : 07 Octubre, 2019, 10:27 »

Hola

Es que eso no es una división de diferenciales sino una notación para referirse a una derivada.

Si tienes:

[texx]\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)[/texx]

equivale a:

[texx]dy=f(x,y)dx[/texx]

Pero son notaciones.

Saludos.

P.D. Te citaría algunos hilos del foro sobre esta cuestión.. pero por esta vez voy a acudir a fuentes ajenas:

https://math.stackexchange.com/questions/1784671/when-can-we-not-treat-differentials-as-fractions-and-when-is-it-perfectly-ok
https://math.stackexchange.com/questions/21199/is-frac-textrmdy-textrmdx-not-a-ratio
https://mathoverflow.net/questions/73492/how-misleading-is-it-to-regard-fracdydx-as-a-fraction

Gracias.
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