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Autor Tema: Si a y b son enteros tales que mcd(a,b) = 1, demostrar que...  (Leído 224 veces)
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albertlorenzo
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« : 24 Septiembre, 2019, 16:07 »

mcd(a + b, a) = 1
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 24 Septiembre, 2019, 16:29 »

Hola

Creo que se puede utilizar el algoritmo de Euclides para calcular mcd(a+b,a), entonces

a+b=1(a)+b

a=k(b)+r

La segunda división es el primer paso del algoritmo de Euclides para calcular mcd(a,b)


Quizás te sirva

Saludos

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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...
Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 24 Septiembre, 2019, 16:47 »

Sea [texx] d = mcd(a+b,a) [/texx] tenemos que [texx] d|a[/texx] y [texx] d|a+b [/texx] entonces [texx]d|(a+b)-a [/texx] y sigue.
Nos queda:
[texx](a+b,a)=(a+b,b)=1[/texx]
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feriva
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« Respuesta #3 : 24 Septiembre, 2019, 19:37 »

Hola

mcd(a + b, a) = 1


También puedes hacerlo por reducción al absurdo.

Supones que “a” tiene un factor común con “a+b” (sea el factor “p”); entonces podemos escribir

[texx]\dfrac{a+b}{p}=k\in\mathbb{Z}\Rightarrow\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p}=k\in\mathbb{Z}
 [/texx].

Ahora, como “p” divide a “a”, tenemos que

[texx]con\,\dfrac{a}{p}=z\in\mathbb{Z}
 [/texx]

[texx]z+\dfrac{b}{p}=k
 [/texx].
[texx]\dfrac{b}{p}=k-z
 [/texx].

Y por ser enteros “k” y “z”, ha deserlo “k-z”, y, por tanto, [texx]\dfrac{b}{p}\in\mathbb{Z}
 [/texx].

Esto implica que “p” divide a “b” siendo “p” un factor de “a”, luego [texx](a,b)\geq|p|
 [/texx] contradiciendo así la condición [texx](a,b)=1
 [/texx] que da el enunciado.


Saludos.
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