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Autor Tema: Demostración de rectas en un espacio afín  (Leído 406 veces)
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« : 16/09/2019, 15:15:15 »

Buenas tardes.
Escribo ya que me ha surgido una duda en uno de los ejercicios.

Sea A un espacio afín tal que A = (E,V, AP) donde E = {[texx](x,y,z)\in{R^3}/x^2+y^2= z[/texx]}, V = [texx]R^2[/texx], AP(PQ) = AP((x,y,z),(x',y',z')) = (x'-x, y'-y).

Nos preguntan cómo son las rectas (subespacio de dimensión 1), y demostrarlo.

Aquí me asalta la duda de por qué rectas pregunta, ya que en este caso estamos tratando con un paraboloide, y está formado por curvas. Había pensado que podía tratarse de las numerosas rectas tangente que la forman, que se cortarían en un punto, pero no estoy muy segura. Y si es así, cómo empezaría demostrando algo así, ya que lo que tengo es un paraboloide, y no un plano o algo así.

Muchas gracias por adelantado :sonrisa:
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 16/09/2019, 19:01:28 »

Sea A un espacio afín tal que A = (E,V, AP) donde E = {[texx](x,y,z)\in{R^3}/x^2+y^2= z[/texx]}, V = [texx]R^2[/texx], AP(PQ) = AP((x,y,z),(x',y',z')) = (x'-x, y'-y). Nos preguntan cómo son las rectas (subespacio de dimensión 1), y demostrarlo.

Sugerencia. Dado un punto genérico [texx]P_0(x_0,y_0,x_0^2+y_0^2)[/texx] del paraboloide, cualquier otro punto de una recta que pasa por [texx]P_0[/texx] ha de ser de la forma [texx]P(x,y,x^2+y^2)[/texx] con [texx](x-x_0,y-y_0)=\lambda (u,v)[/texx] y [texx](u,v)\ne (0,0).[/texx]
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« Respuesta #2 : 17/09/2019, 11:48:50 »

Sea A un espacio afín tal que A = (E,V, AP) donde E = {[texx](x,y,z)\in{R^3}/x^2+y^2= z[/texx]}, V = [texx]R^2[/texx], AP(PQ) = AP((x,y,z),(x',y',z')) = (x'-x, y'-y). Nos preguntan cómo son las rectas (subespacio de dimensión 1), y demostrarlo.

Sugerencia. Dado un punto genérico [texx]P_0(x_0,y_0,x_0^2+y_0^2)[/texx] del paraboloide, cualquier otro punto de una recta que pasa por [texx]P_0[/texx] ha de ser de la forma [texx]P(x,y,x^2+y^2)[/texx] con [texx](x-x_0,y-y_0)=\lambda (u,v)[/texx] y [texx](u,v)\ne (0,0).[/texx]

Quiere decir entonces esto que los vectores de nuestras rectas no tienen dirección respecto al eje 0Z (por ello nuestro subespacio es [texx]R^2[/texx]), y podría demostrarlo haciendo las ecuaciones paramétricas y pasando a forma implícita, ¿no es así?

Muchísimas gracias por la ayuda :sonrisa:
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 17/09/2019, 18:15:18 »

Quiere decir entonces esto que los vectores de nuestras rectas no tienen dirección respecto al eje 0Z (por ello nuestro subespacio es [texx]R^2[/texx]), y podría demostrarlo haciendo las ecuaciones paramétricas y pasando a forma implícita, ¿no es así?

En realidad, sí. Cada recta [texx]r[/texx] del espacio afín dado que pasa por el punto del paraboloide [texx]P_0(x_0,y_0,z_0)[/texx] y con dirección el subespacio de dimensión [texx]1[/texx], [texx]U=L[(u,v)]\subset \mathbb{R}^2[/texx] es la curva [texx]r[/texx] contenida en el paraboloide:

        [texx]r:\begin{cases}x=x_0+\lambda u\\y=y_0+\lambda v\\z=(x_0+\lambda u)^2+(y_0+\lambda v)^2\end{cases}\quad (\lambda\in\mathbb{R}).[/texx]

P.D. Sería interesante que supieras dar un interpretación geométrica de lo anterior.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 18/09/2019, 07:29:31 »

Hola

 Una ayuda. Puedes mover los puntos rojos:

 
Saludos.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 18/09/2019, 07:39:19 »

Excelente ayuda Luis.  Aplauso
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« Respuesta #6 : 06/10/2019, 16:36:11 »

Muchísimas gracias a ambos :sonrisa:
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