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Autor Tema: Duda sobre dos ejercicios de espacios prehilbertianos  (Leído 401 veces)
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FerOliMenNewton
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« : 14 Septiembre, 2019, 20:36 »

Hola a todos, primero que nada les envío un cordial saludo, tengo las siguientes dudas respecto a estos ejercicios:
1. En el primero debo probar que la norma infinito en [texx]C[a,b][/texx] es invariante bajo una transformación lineal [texx]t=\alpha \cdot{ \tau }+ \beta[/texx], pero qué se supone que significa eso exactamente?
Pensé que significaba que si [texx]f(\tau)=\alpha \cdot{ \tau }+ \beta[/texx] entonces
[texx]\max\left\{{|x(t)|: t\in{[a,b]}}\right\}=\max\left\{{|x(s)|:s\in{f([a,b])}}\right\}[/texx]
pero eso no es necesariamente cierto
2. En el segundo debo probar que si [texx]X[/texx] es el espacio prehilbertiano  de polinomios cuyo grado es menor o igual que dos, denotado por [texx]\mathbb{R}_2[t] \textrm{ con } t\in{[a,b]}[/texx], con el producto interior definido por :
[texx]<p,q>=\displaystyle\int_{a}^{b} p(t)\cdot{q(t)} dt[/texx]
Entonces [texx]X [/texx] es completo con la norma inducida por el producto interior, para ello lo que intenté pues fue tomar una sucesión de Cauchy [texx](x_{n})_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] en [texx]X[/texx]. Entonces, por definición , dado [texx]\epsilon >0 ,\textrm{ }\exists{N\in{\mathbb{N}}}[/texx] tal que para toda [texx]n\geq{N}[/texx]:
 
[texx] \left\|{x_{n}-x_{m}}\right\|=\left( \displaystyle\int_{a}^{b} |x_{n}(t)-x_{m}(t)|^{2}dt \right) ^{1/2}<\epsilon[/texx]
De donde, para cada [texx]t\in{[a,b]}[/texx]
(*)
[texx] |x_{n}(t)-x_{m}(t)|<\epsilon [/texx]
Así, para cada [texx]t\in{[a,b]}[/texx], [texx](x_{n}(t))_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] es de Cauchy. Por consiguiente, como [texx]\mathbb{R}[/texx] es completo se tiene que [texx]x_{n}(t) \textrm{converge a algún } x(t)\in{\mathbb{R}}[/texx], obtenemos así una función [texx]x:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] tal que para cada [texx]t\in{[a,b]}[/texx], [texx]x_{n}(t)\rightarrow{x(t)}[/texx]. Dejando [texx]n[/texx] fija en (*) y haciendo tender [texx]m\rightarrow{\infty}[/texx], tenemos que para toda [texx]t\in{[a,b]}[/texx] y [texx]\forall{m\geq{N}}[/texx]:
 
[texx]|x_{n}(t)-x(t)|<\epsilon[/texx]

lo que implica que la sucesión [texx](x_{n})[/texx] converge uniformemente hacia la función [texx]x[/texx] , por definición de convergencia uniforme. Esto sólo demuestra la convergencia pero no la cerradura.
Mi duda es: ¿Cómo aseguro que [texx]  x\in{\mathbb{R}_2[t]} [/texx]? No lo veo taaaan claro :triste:, o sea tiene sentido pero quiero convencerme.
 
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Masacroso
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« Respuesta #1 : 14 Septiembre, 2019, 21:40 »

Respecto a la primera cuestión no sé qué decirte ya que la cuestión no es clara: no sé qué es [texx]\alpha , \beta [/texx] o [texx]\tau [/texx].

Respecto a lo segundo yo hubiese utilizado una base vectorial en [texx]\Bbb R _2[t][/texx] para intentar demostrar su completitud, quedando polinomios de, a lo más, cuarto grado dentro de la integral que define el producto interior, lo que reduce su análisis a una suma de integrales en [texx][a,b][/texx] de monomios (es una idea, no he probado a hacer la demostración, a lo mejor no conduce a nada, habría que probar). De hecho usando una base vectorial ortonormal la demostración (o intento de) se simplifica aún más.
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FerOliMenNewton
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« Respuesta #2 : 15 Septiembre, 2019, 18:04 »

Hola Masacroso, gracias por tu respuesta.
Respecto al primero el libro tampoco me especificó qué eran, pero yo asumo que [texx]\tau[/texx] es un parámetro real , y [texx]\alpha, \beta[/texx] son escalares reales fijos cualesquiera.
Respecto al segundo, gracias por tu sugerencia de usar una base ortonormal :cara_de_queso: las cosas se volvieron más agradables con ello
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 16 Septiembre, 2019, 05:34 »

Hola

Hola a todos, primero que nada les envío un cordial saludo, tengo las siguientes dudas respecto a estos ejercicios:
1. En el primero debo probar que la norma infinito en [texx]C[a,b][/texx] es invariante bajo una transformación lineal [texx]t=\alpha \cdot{ \tau }+ \beta[/texx], pero qué se supone que significa eso exactamente?
Pensé que significaba que si [texx]f(\tau)=\alpha \cdot{ \tau }+ \beta[/texx] entonces
[texx]\max\left\{{|x(t)|: t\in{[a,b]}}\right\}=\max\left\{{|x(s)|:s\in{f([a,b])}}\right\}[/texx]
pero eso no es necesariamente cierto

No estoy muy seguro pero quizá se refiera a lo siguiente. La transformación lineal, convierte el intervalo [texx][a,b][/texx] en el intervalo [texx][c,d][/texx], donde:

[texx]c=min\{\alpha\cdot a+\beta,\alpha\cdot b+\beta\}[/texx]
[texx]b=max\{\alpha\cdot a+\beta,\alpha\cdot b+\beta\}[/texx]

y una función continua [texx]f[/texx] en [texx][a,b][/texx] en una función continua [texx]g[/texx] en [texx][c,d][/texx] tal que
[texx]g(\alpha\tau+\beta)=f(\tau)[/texx].

Entonces (obviamente) la norma infinito en [texx]C([a,b])[/texx] de [texx]f[/texx] es la misma que la norma infinito en [texx]C([c,d])[/texx] de [texx]g[/texx].

Saludos.
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FerOliMenNewton
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« Respuesta #4 : 18 Septiembre, 2019, 21:22 »

Hola Luis, muchas gracias por tu respuesta! :cara_de_queso:
Y pues yo creo que si se refiere a eso, no encuentro una mejor manera de interpretarlo.
De nuevo gracias :cara_de_queso:, saludos.
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