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Autor Tema: convergencia uniforme.  (Leído 106 veces)
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« : 13/09/2019, 03:36:33 pm »

Buenas, tengo una pregunta:

si [texx]f: \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]  uniformemente continua entonces existen constantes c y r tal que [texx] \left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r} [/texx].

¿Es cierto el reciproco? demuestre o halle un contraejemplo.
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« Respuesta #1 : 13/09/2019, 04:30:32 pm »

Buenas, tengo una pregunta:

si [texx]f: \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] converge uniformemente entonces existen constantes c y r tal que [texx] \left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r} [/texx].

¿Es cierto el reciproco? demuestre o halle un contraejemplo.

¿Qué significa que una función "converja uniformemente"? ¿No será más bien que es uniformemente continua?
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« Respuesta #2 : 13/09/2019, 04:58:17 pm »

Perdón, si es uniformemente continua.
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« Respuesta #3 : 13/09/2019, 06:29:21 pm »

Perdón, si es uniformemente continua.

Usa la definición de continuidad uniforme, una pista: existe un [texx]\delta >0[/texx] tal que

[texx]\displaystyle{
|x|<\delta\implies |f(x)-f(0)|<1
}[/texx]

y observa que siempre se cumple que [texx]|a|-|b|\leqslant |a-b|[/texx].
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« Respuesta #4 : 13/09/2019, 07:48:53 pm »

Me imagino que eso es para probar la implicación, pero esa implicación ya la hice, no sé es como verificar el reciproco.
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« Respuesta #5 : 13/09/2019, 08:03:13 pm »

Me imagino que eso es para probar la implicación, pero esa implicación ya la hice, no sé es como verificar el contrareciproco.

El recíproco no es cierto ya que la desigualdad [texx]|f(x)|\leqslant  c|x|+r[/texx] no implica que [texx]f[/texx] sea continua, por ejemplo la función [texx]f(x):=\lfloor x \rfloor[/texx] lo cumple pero no es continua.
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« Respuesta #6 : 13/09/2019, 10:37:48 pm »

Gracias.
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« Respuesta #7 : 15/09/2019, 12:21:30 am »

Saludos, una pregunta. Es claro para según lo que vi en este post que [texx]|f(x)|<1+|f(0)|[/texx], ahora, ¿como tendría que escoger [texx]a[/texx] para que se cumpla [texx]\left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r}[/texx]?
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« Respuesta #8 : 15/09/2019, 04:35:37 am »

Saludos, una pregunta. Es claro para según lo que vi en este post que [texx]|f(x)|<1+|f(0)|[/texx], ahora, ¿como tendría que escoger [texx]a[/texx] para que se cumpla [texx]\left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r}[/texx]?

Mira aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/691143/show-that-there-are-a-b-geq-0-so-that-fx-leq-axb-forall-x-geq-0

Si no entiendes algo pregunta (me da pereza repetir un argumento semejante :lengua_afuera:)
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