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Autor Tema: Problema sobre la función parte entera  (Leído 258 veces)
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Eparoh
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« : 03/09/2019, 17:09:12 »

Hola, tratando de demostrar cierto resultado he llegado a un punto en el cual he aplicado algo que creo es cierto, pero no consigo demostrarlo.
Sería algo así:

Sea [texx]n=p^ku[/texx] un número natural con [texx]p[/texx] primo, [texx]k \geq 0[/texx] y de modo que [texx]p \hspace{-2mm} \not | u[/texx], entonces si [texx]i \leq k[/texx] se cumple que

[texx]\lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor \dfrac{n-1}{p^i} \rfloor +1[/texx]

mientras que si es [texx]k < i[/texx] entonces

[texx]\lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor \dfrac{n-1}{p^i} \rfloor[/texx]

He conseguido demostrar la primera igualdad pues al ser [texx]i \leq k[/texx] se tiene que [texx]\frac{n}{p^i}[/texx] es un entero y entonces

[texx]\lfloor \dfrac{n-1}{p^i} \rfloor +1= \lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor + \lfloor \dfrac{-1}{p^i} \rfloor +1 = \lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor -1 +1 = \lfloor \dfrac{n}{p^i} \rfloor[/texx]

Pero, la segunda igualdad no consigo demostrarla, por más caminos que trate de tomar, siempre llego a un callejón sin salida. ¿Alguna idea?

Muchas gracias por las respuestas y un saludo.
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« Respuesta #1 : 03/09/2019, 19:26:32 »

Para la parte que te falta, escribe [texx]n=ap^i +b[/texx] con [texx]0<b<p^i[/texx] (la clave de todo está en que [texx]b[/texx] no puede ser cero pues [texx]p^i \not | n[/texx]). Entonces,
[texx]\lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor a + \frac{b}{p^i} \rfloor = a[/texx].
Y por otro lado, tienes que [texx]n-1 = ap^i + (b-1)[/texx], con [texx]0 \leq b-1 < p^i[/texx], luego
[texx]\lfloor \frac{n-1}{p^i} \rfloor = \lfloor a + \frac{b-1}{p^i} \rfloor = a[/texx].

Usando esto también puedes probar el caso que ya tienes probado. En ese caso tienes [texx]n=ap^i[/texx] mientras que [texx]n-1 = (a-1)p^i+(p^i-1)[/texx], lo que te da el resultado.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Eparoh
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« Respuesta #2 : 04/09/2019, 10:27:46 »

Para la parte que te falta, escribe [texx]n=ap^i +b[/texx] con [texx]0<b<p^i[/texx] (la clave de todo está en que [texx]b[/texx] no puede ser cero pues [texx]p^i \not | n[/texx]). Entonces,
[texx]\lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor a + \frac{b}{p^i} \rfloor = a[/texx].
Y por otro lado, tienes que [texx]n-1 = ap^i + (b-1)[/texx], con [texx]0 \leq b-1 < p^i[/texx], luego
[texx]\lfloor \frac{n-1}{p^i} \rfloor = \lfloor a + \frac{b-1}{p^i} \rfloor = a[/texx].

Usando esto también puedes probar el caso que ya tienes probado. En ese caso tienes [texx]n=ap^i[/texx] mientras que [texx]n-1 = (a-1)p^i+(p^i-1)[/texx], lo que te da el resultado.

Siempre me ocurre lo mismo, intento mil cosas y lo más sencillo como es aplicar el simple algoritmo de la división se me escapa  :BangHead:
Muchas gracias por la respuesta, muy útil como siempre.
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