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Autor Tema: Función identidad  (Leído 301 veces)
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Marcos Castillo
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« : 15/08/2019, 06:24:49 »

Hola, tengo un texto, y dudas. Lo escribo:
"Para cada conjunto [texx]X[/texx], existe una función escrita como [texx]Id_{X}:X\longrightarrow{X}[/texx] que es definida por [texx]f(x)=x[/texx] para todo [texx]x\in{X}[/texx]. Es conocida como la función identidad en [texx]X[/texx] y es diferente para cada [texx]X[/texx]. Sólo se pueden componer funciones [texx]f:A\longrightarrow{B}[/texx] y [texx]C\longrightarrow{D}[/texx] si [texx]B=C[/texx].  "
Mi duda es que [texx]B[/texx] no tiene que ser igual a [texx]C[/texx]. ¿o si?.
Un saludo
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« Respuesta #1 : 15/08/2019, 13:11:47 »

Hola, tengo un texto, y dudas. Lo escribo:
"Para cada conjunto [texx]X[/texx], existe una función escrita como [texx]Id_{X}:X\longrightarrow{X}[/texx] que es definida por [texx]f(x)=x[/texx] para todo [texx]x\in{X}[/texx]. Es conocida como la función identidad en [texx]X[/texx] y es diferente para cada [texx]X[/texx]. Sólo se pueden componer funciones [texx]f:A\longrightarrow{B}[/texx]  y  [texx]{\bf\color{red}g:\;}C\longrightarrow{D}[/texx] si [texx]B=C[/texx]".
Mi duda es que [texx]B[/texx] no tiene que se igual a [texx]C[/texx]. ¿o si?.
Un saludo

Hola Marcos

¿No te faltó escribir algo como lo que he puesto en rojo?
Si es así, tenemos. [texx](g\circ f)(x)[/texx]
Por definición de la función composición [texx](g\circ f)(x)[/texx] el dominio de g es igual  al rango de f.

Si no, no entiendo ese párrafo.

Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #2 : 15/08/2019, 14:48:10 »

Hola ingmarov. La definición que yo tengo es diferente. Dice:
"Sean [texx]f[/texx], con dominio [texx]A[/texx], y [texx]g[/texx] funciones tales que el recorrido de [texx]f[/texx], [texx]f(A)[/texx], se encuentra en el dominio de [texx]g[/texx], [texx]B[/texx]


[texx]\xymatrix{ A\ar[r]^f \ar[dr]_{gof} & f(A)\subset B\ar[d]^g \\ & R }[/texx]

Vamos, que el recorrido de [texx]f[/texx] no es igual al dominio de [texx]g[/texx]. No sé si tiene relación.
Un saludo
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« Respuesta #3 : 15/08/2019, 15:51:50 »

Es una de estas cosas en las que no hay un acuerdo universal y que lleva fácilmente a confusión si miras fuentes distintas que usan convenciones distintas.

Si tienes aplicaciones [texx]f:A \to B[/texx] y [texx]g:C \to D[/texx], para que la función compuesta [texx]g \circ f:A \to C[/texx] esté definida, hay autores que piden que [texx]B=C[/texx] (diría que los más, y desde luego esta es mi opción favorita), y otros que admiten la condición más general [texx]f(A) \subseteq C[/texx]. En cualquier caso, obtienes una aplicación [texx]g \circ f:A \to D[/texx], pues la fórmula que la define, [texx](g \circ f)(x)=g(f(x))[/texx] para [texx]x \in A[/texx], tiene sentido.

Puede parecer que la segunda definición es más general, pero en realidad es lo mismo, pues si [texx]f(A) \subseteq C[/texx], puedes definir considerar la aplicación [texx]f':A \to C[/texx], que es la misma función que [texx]f[/texx], pero donde ahora pensamos que el conjunto de llegada es [texx]C[/texx] en vez de [texx]B[/texx]. Entonces, [texx]g \circ f': A \to D[/texx] está definida (con la definición más restrictiva) y es exactamente la misma aplicación que [texx]g \circ f[/texx] definida antes, con la definición más general.

De todas formas, mi opinión personal es que es mejor pedir que [texx]B = C[/texx] para que esté definida la composición, pues esto también se aplica a contextos mucho más generales donde la condición [texx]f(A) \subseteq C[/texx] puede no tener sentido.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Marcos Castillo
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« Respuesta #4 : 15/08/2019, 15:57:29 »

¡Gracias, ingmarov, geómetracat!
Un saludo
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No man is an island (John Donne)
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