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Autor Tema: Duda acerca de la expresión analítica de una función  (Leído 314 veces)
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FerOliMenNewton
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« : 13/08/2019, 07:18:28 pm »

Hola a todos! Este semestre llevo mi primer curso de Variable Compleja y mientras estaba haciendo ejercicios me topé con este:
Expresar analíticamente la función [texx]arg(x+y\cdot{i})[/texx]
La indicación del ejercicio dice que la respuesta NO es [texx]arctan(\displaystyle\frac{y}{x})[/texx], pero si no es eso entonces a qué se refiere con expresarla analíticamente? :triste: No lo entiendo, podrían explicarme por favor?
Saludos
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Abdulai
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« Respuesta #1 : 13/08/2019, 11:10:59 pm »

Hola a todos! Este semestre llevo mi primer curso de Variable Compleja y mientras estaba haciendo ejercicios me topé con este:
Expresar analíticamente la función [texx]arg(x+y\cdot{i})[/texx]
La indicación del ejercicio dice que la respuesta NO es [texx]arctan(\displaystyle\frac{y}{x})[/texx], pero si no es eso entonces a qué se refiere con expresarla analíticamente? :triste: No lo entiendo, podrían explicarme por favor?
Saludos

Tal vez hayan especificado la imagen de la función.  Con  [texx]\arctan \frac{y}{x}[/texx]  es [texx]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/texx] y para corregir a los demás cuadrantes hay que analizar el signo de [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx].

En programación , cuando no se dispone de equivalente a la función de C atan2(y,x)  , que devuelve el argumento en los 4 cuadrantes, se suele usar:
[texx] \theta = 2\arctan\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}\right)[/texx]  cuya imagen es  [texx]\left(-\pi,\pi\right)[/texx]

Que se deduce partiendo de la identidad: [texx]\tan\frac{\theta}{2}= \dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}= \dfrac{y/\sqrt{x^2+y^2}}{1+x/\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}[/texx]
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FerOliMenNewton
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« Respuesta #2 : 14/08/2019, 10:53:22 pm »

Hola a todos! Este semestre llevo mi primer curso de Variable Compleja y mientras estaba haciendo ejercicios me topé con este:
Expresar analíticamente la función [texx]arg(x+y\cdot{i})[/texx]
La indicación del ejercicio dice que la respuesta NO es [texx]arctan(\displaystyle\frac{y}{x})[/texx], pero si no es eso entonces a qué se refiere con expresarla analíticamente? :triste: No lo entiendo, podrían explicarme por favor?
Saludos

Tal vez hayan especificado la imagen de la función.  Con  [texx]\arctan \frac{y}{x}[/texx]  es [texx]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/texx] y para corregir a los demás cuadrantes hay que analizar el signo de [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx].

En programación , cuando no se dispone de equivalente a la función de C atan2(y,x)  , que devuelve el argumento en los 4 cuadrantes, se suele usar:
[texx] \theta = 2\arctan\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}\right)[/texx]  cuya imagen es  [texx]\left(-\pi,\pi\right)[/texx]

Que se deduce partiendo de la identidad: [texx]\tan\frac{\theta}{2}= \dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}= \dfrac{y/\sqrt{x^2+y^2}}{1+x/\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}[/texx]
Oh! Ya veo! Entiendo, muchas gracias Abdulai  :cara_de_queso: ! y por favor disculpa la molestia, saludos
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ingmarov
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« Respuesta #3 : 15/08/2019, 12:00:22 am »

Hola.   Corregido, faltaba poner la unidad imaginaria en las exponenciales

A ver si esto te sirve

[texx]y=tan(u)\quad\Rightarrow\quad u=arctan(y)[/texx]

Sabemos que

[texx]y=tan(u)=\dfrac{sen(u)}{cos(u)}=\dfrac{\frac{e^{iu}-e^{-iu}}{2i}}{\frac{e^{iu}+e^{-iu}}{2}}=\dfrac{e^{iu}-e^{-iu}}{i(e^{iu}+e^{-iu})}[/texx]

Debemos despejar u,

[texx]y=\dfrac{e^{iu}-e^{-iu}}{i(e^{iu}+e^{-iu})}\cdot \dfrac{e^{iu}}{e^{iu}}=\dfrac{e^{2iu}-1}{i(e^{2iu}+1)}[/texx]

[texx]y(ie^{2iu}+i)=e^{2iu}-1[/texx]

[texx]e^{2iu}(iy-1)=-iy-1[/texx]

[texx]e^{2iu}=\dfrac{1+iy}{1-iy}[/texx]

[texx]u=\bf\dfrac{1}{2i} ln \left( \dfrac{1+iy}{1-iy} \right)=arctan(y)[/texx]



Entonces podemos decir que

[texx]arctan(\frac{y}{x})=\dfrac{1}{2i} ln \left( \dfrac{1+i\frac{y}{x}}{1-i\frac{y}{x}} \right)=\dfrac{1}{2i} ln \left( \dfrac{x+iy}{x-iy} \right)[/texx]

Por lo que si   z=x+iy

[texx]arg(z)=\dfrac{1}{2i}ln \left( \dfrac{x+iy}{x-iy} \right)=\dfrac{1}{2i} ln \left( \dfrac{z}{\bar{z}} \right)[/texx]

Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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