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Autor Tema: Ecuación paramétrica  (Leído 104 veces)
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natydlv
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« : 13/08/2019, 03:03:31 pm »

Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Saludos

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto [texx]P(7,-2,9)[/texx] y es perpendicular a [texx](x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx]"

Avances:

se me ocurrió considerar un punto [texx]Q(m,n,p)[/texx]
luego el vector que pasa por P y Q: [texx]\vec{PQ}=(Q-P)=(m,n,p)-(7,-2,9)=(m-7,n+2,p-9)[/texx]
luego para que sean perpendiculares el producto entre [texx]\vec{PQ}[/texx] y [texx](m-7,n+2,p-9)[/texx] debe ser igual a [texx]0[/texx]:

[texx](m-7,n+2,p-9)\cdot{[(-4,2,0)+a(1,5,-2)}]=0[/texx]

y de aquí no se como continuar

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AlexFeynman
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« Respuesta #1 : 13/08/2019, 04:32:17 pm »

Si [texx]\overrightarrow{PQ}[/texx] es el vector director de la recta, entonces como dices, el producto escalar de los vectores directores tiene que ser 0, [texx]<1,5,-2>\cdot{<m-7,n+2,p-9>}=0[/texx]. Además, si la única condición es que sean perpendiculares, sin importar que se corten, la solución son infinitas rectas que pasan por [texx]P[/texx].
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robinlambada
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« Respuesta #2 : 13/08/2019, 05:20:28 pm »

Hola:
Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Saludos

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto [texx]P(7,-2,9)[/texx] y es perpendicular a [texx](x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx]"

Avances:

se me ocurrió considerar un punto [texx]Q(m,n,p)[/texx]
luego el vector que pasa por P y Q: [texx]\vec{PQ}=(Q-P)=(m,n,p)-(7,-2,9)=(m-7,n+2,p-9)[/texx]
luego para que sean perpendiculares el producto entre [texx]\vec{PQ}[/texx] y [texx](m-7,n+2,p-9)[/texx] debe ser igual a [texx]0[/texx]:

[texx](m-7,n+2,p-9)\cdot{[(-4,2,0)+a(1,5,-2)}]=0[/texx]



Otra forma parecida.

Como en 3 dimensiones existen infinitas rectas perpendiculares a otra dada, ( de hecho todas forman un plano)

Puedo quedarme con cualquier vector perpendicular al dado [texx](1,5,-2)[/texx] ,

En dos dimensiones es muy fácil [texx](a,b)\perp{}(b,-a)[/texx] , pues [texx]a\cdot{}b-b\cdot{a}=0[/texx]

Para tres dimensiones se puede hacer algo parecido. [texx](a,b,c)\perp{}(b,-a,0)[/texx], esta es una de las infinitas posibilidades.

Por tanto  [texx](5,-1,0)\perp{}(1,5,-2)[/texx] ya que [texx]5\cdot{}1-1\cdot{}5+0\cdot{}(-2)=0[/texx]

Por ello una solución inmediata es:

[texx]s: (7,-2,9)+t(5,-1,0) [/texx]

Saludos.
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« Respuesta #3 : 14/08/2019, 01:09:56 am »

Hola

El problema sería más interesante, si la recta no solo es perpendicular; sino que también la intersecta.


Saludos
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natydlv
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« Respuesta #4 : Ayer a las 05:06:11 pm »

gracias compañeros, luego de revisar bien la consigna note que me confundí con algo. La recta que pasa por P debe ser perpendicular a una recta mas, la cual yo estaba considerando como un segundo ejercicio. Actualizo la consigna...

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto [texx]P(7,-2,9)[/texx] y es perpendicular a [texx](x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx] y también es perpendicular a la recta [texx]\displaystyle\frac{x-2}{2}=\displaystyle\frac{y}{-2}=\displaystyle\frac{z+3}{3}[/texx]"

entonces voy a llamar:

[texx]R_0[/texx] a la recta que pasa por [texx]P[/texx]
[texx]R_1:(x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx]
[texx]R_2:(x,y,z)=(2,0,-3)+a(2,-2,3)[/texx]

ahora me resulta todavía mas confuso, alguna ayuda? Gracias
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ingmarov
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« Respuesta #5 : Ayer a las 06:19:02 pm »

Hola

A ver

Primero encuentro un vector que sea perpendicular a la primera recta que apunte desde el punto dado hayas punto de la recta.

Sea Q(-4,2,0) un punto de la recta, y

[texx]\vec{u}=\vec{PQ}=(-4-7,2-(-2),-9)=(-11,4,-9)[/texx]


La magnitud del vector director de la recta es

[texx]|\vec{d}|=\sqrt{30}[/texx]


El vector deseado es:

[texx]\vec{v}=\vec{u}-\dfrac{\vec{d}\cdot\vec{u}}{|\vec{d}|^2}\cdot\vec{d}=(-11,4,-9)-(\frac{9}{10})(1,5,-2)=(-\frac{119}{10},-\frac{1}{2},-\frac{36}{5})[/texx]

Hasta aquí es suficiente para resolver, este vector es el director de la recta buscada.




El punto en la recta es(el punto de cruce)


[texx]\vec{P}+\vec{v}=(-\frac{49}{10},-\frac{5}{2},\frac{9}{5})[/texx]

Ahora con dos puntos conocidos P (ó con el vector [texx]\vec{v}[/texx] y P)y este último es fácil encontrar la recta que cumpla la primera condición.

Revisa


La segunda parte, no la entiendo

...y también [texx]\displaystyle\frac{x-2}{2}=\displaystyle\frac{y}{-2}=\displaystyle\frac{z+3}{3}[/texx]"

...

Ahora con lo que añadiste, comprueba que la recta que encontré se cruza con la segunda recta, si no el problema no tiene solución.

Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
AlexFeynman
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« Respuesta #6 : Ayer a las 06:28:24 pm »

Si el vector director de la recta que buscas es  [texx]dr_0[/texx] y los que tienes son [texx]dr_1[/texx] y
 [texx]dr_2[/texx], se tiene que cumplir [texx]dr_0 \cdot{dr_1}=0[/texx]  y   [texx]dr_0 \cdot{dr_2}=0[/texx].
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