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Autor Tema: Ecuación paramétrica  (Leído 221 veces)
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natydlv
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« : 13/08/2019, 03:03:31 pm »

Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Saludos

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto [texx]P(7,-2,9)[/texx] y es perpendicular a [texx](x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx]"

Avances:

se me ocurrió considerar un punto [texx]Q(m,n,p)[/texx]
luego el vector que pasa por P y Q: [texx]\vec{PQ}=(Q-P)=(m,n,p)-(7,-2,9)=(m-7,n+2,p-9)[/texx]
luego para que sean perpendiculares el producto entre [texx]\vec{PQ}[/texx] y [texx](m-7,n+2,p-9)[/texx] debe ser igual a [texx]0[/texx]:

[texx](m-7,n+2,p-9)\cdot{[(-4,2,0)+a(1,5,-2)}]=0[/texx]

y de aquí no se como continuar

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« Respuesta #1 : 13/08/2019, 04:32:17 pm »

Si [texx]\overrightarrow{PQ}[/texx] es el vector director de la recta, entonces como dices, el producto escalar de los vectores directores tiene que ser 0, [texx]<1,5,-2>\cdot{<m-7,n+2,p-9>}=0[/texx]. Además, si la única condición es que sean perpendiculares, sin importar que se corten, la solución son infinitas rectas que pasan por [texx]P[/texx].
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« Respuesta #2 : 13/08/2019, 05:20:28 pm »

Hola:
Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Saludos

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto [texx]P(7,-2,9)[/texx] y es perpendicular a [texx](x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx]"

Avances:

se me ocurrió considerar un punto [texx]Q(m,n,p)[/texx]
luego el vector que pasa por P y Q: [texx]\vec{PQ}=(Q-P)=(m,n,p)-(7,-2,9)=(m-7,n+2,p-9)[/texx]
luego para que sean perpendiculares el producto entre [texx]\vec{PQ}[/texx] y [texx](m-7,n+2,p-9)[/texx] debe ser igual a [texx]0[/texx]:

[texx](m-7,n+2,p-9)\cdot{[(-4,2,0)+a(1,5,-2)}]=0[/texx]



Otra forma parecida.

Como en 3 dimensiones existen infinitas rectas perpendiculares a otra dada, ( de hecho todas forman un plano)

Puedo quedarme con cualquier vector perpendicular al dado [texx](1,5,-2)[/texx] ,

En dos dimensiones es muy fácil [texx](a,b)\perp{}(b,-a)[/texx] , pues [texx]a\cdot{}b-b\cdot{a}=0[/texx]

Para tres dimensiones se puede hacer algo parecido. [texx](a,b,c)\perp{}(b,-a,0)[/texx], esta es una de las infinitas posibilidades.

Por tanto  [texx](5,-1,0)\perp{}(1,5,-2)[/texx] ya que [texx]5\cdot{}1-1\cdot{}5+0\cdot{}(-2)=0[/texx]

Por ello una solución inmediata es:

[texx]s: (7,-2,9)+t(5,-1,0) [/texx]

Saludos.
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« Respuesta #3 : 14/08/2019, 01:09:56 am »

Hola

El problema sería más interesante, si la recta no solo es perpendicular; sino que también la intersecta.


Saludos
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natydlv
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« Respuesta #4 : 19/08/2019, 05:06:11 pm »

gracias compañeros, luego de revisar bien la consigna note que me confundí con algo. La recta que pasa por P debe ser perpendicular a una recta mas, la cual yo estaba considerando como un segundo ejercicio. Actualizo la consigna...

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto [texx]P(7,-2,9)[/texx] y es perpendicular a [texx](x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx] y también es perpendicular a la recta [texx]\displaystyle\frac{x-2}{2}=\displaystyle\frac{y}{-2}=\displaystyle\frac{z+3}{3}[/texx]"

entonces voy a llamar:

[texx]R_0[/texx] a la recta que pasa por [texx]P[/texx]
[texx]R_1:(x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx]
[texx]R_2:(x,y,z)=(2,0,-3)+a(2,-2,3)[/texx]

ahora me resulta todavía mas confuso, alguna ayuda? Gracias
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« Respuesta #5 : 19/08/2019, 06:19:02 pm »

Hola
Solución en el spoiler.
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Saludos
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« Respuesta #6 : 19/08/2019, 06:28:24 pm »

Si el vector director de la recta que buscas es  [texx]dr_0[/texx] y los que tienes son [texx]dr_1[/texx] y
 [texx]dr_2[/texx], se tiene que cumplir [texx]dr_0 \cdot{dr_1}=0[/texx]  y   [texx]dr_0 \cdot{dr_2}=0[/texx].
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« Respuesta #7 : 20/08/2019, 04:57:01 am »

Lo más sencillo, si puedes usar el producto vectorial, es obtener el vector director de la recta como producto vectorial de los vectores directores de las otras dos.
La ec. vectorial es :

[texx](x,y,z)=P+(1,5,-2)×(2,-2,3)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #8 : 20/08/2019, 01:00:18 pm »

Lo más sencillo, si puedes usar el producto vectorial, es obtener el vector director de la recta como producto vectorial de los vectores directores de las otras dos.
La ec. vectorial es :

[texx](x,y,z)=P+(1,5,-2)×(2,-2,3)[/texx]

Saludos.

Es cierto, es más sencillo. Naty deberá probar que la recta que pasa por P y tiene ese vector director pasa por las dos rectas dadas.

Saludos
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« Respuesta #9 : 20/08/2019, 05:26:12 pm »

Lo más sencillo, si puedes usar el producto vectorial, es obtener el vector director de la recta como producto vectorial de los vectores directores de las otras dos.
La ec. vectorial es :

[texx](x,y,z)=P+(1,5,-2)×(2,-2,3)[/texx]

Saludos.

Es cierto, es más sencillo. Naty deberá probar que la recta que pasa por P y tiene ese vector director pasa por las dos rectas dadas.

Saludos
No pide en el enunciado que la recta pase por las otras dos. Toda recta queda totalmente caracterizada por un punto y un vector director, que pasase por las otras 2 rectas sería una carambola extra, que no afecta a la resolución del problema.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 20/08/2019, 06:11:42 pm »


No pide en el enunciado que la recta pase por las otras dos. Toda recta queda totalmente caracterizada por un punto y un vector director, que pasase por las otras 2 rectas sería una carambola extra, que no afecta a la resolución del problema.

Saludos.


Ah, interesante. Entonces ¿dos rectas son perpendiculares, sin cruzarse, por el hecho de que sus vectores directores lo son?
Eh olvidado muchas cosas

Saludos compañero
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« Respuesta #11 : 20/08/2019, 06:22:42 pm »

Hola compañero.

No pide en el enunciado que la recta pase por las otras dos. Toda recta queda totalmente caracterizada por un punto y un vector director, que pasase por las otras 2 rectas sería una carambola extra, que no afecta a la resolución del problema.

Saludos.


Ah, interesante. Entonces ¿dos rectas son perpendiculares, sin cruzarse, por el hecho de que sus vectores directores lo son?
Eh olvidado muchas cosas

Saludos compañero
Exacto, para que dos rectas sean perpendiculares basta que sus vectores sean ortogonales.
Saludos.
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« Respuesta #12 : 20/08/2019, 07:06:30 pm »

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« Respuesta #13 : Ayer a las 04:00:33 am »

Robin, ¿puedes darme algún lugar donde consultar sobre la perpendicularidad de rectas en R3?

Porque en inglés encuentro, por ejemplo

https://socratic.org/questions/how-do-i-know-if-two-lines-are-perpendicular-in-three-dimensional-space

https://math.stackexchange.com/questions/1779871/defining-perpendicular-lines-in-the-3d-space#comment3633010_1779871

https://www.brightstorm.com/math/precalculus/vectors-and-parametric-equations/perpendicular-parallel-and-skew-lines-in-space/


Donde dice que las rectas deben cruzarse.

Por el momento restauraré mis mensajes anteriores.

Saludos
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« Respuesta #14 : Ayer a las 05:25:57 am »

Hola, No me puedo extender mucho. Estoy de vacaciones y parto en minutos y escribo desde el móvil.

Un enlace puede ser este.

https://www.sangakoo.com/es/temas/rectas-perpendiculares-en-el-espacio

El criterio no es único. Pero lo más general es que solo su producto escalar sea cero. Lo que ocurre es que en dibujo técnico normalmente se pide que también se corten las rectas.
Pero si ves temas de posiciones relativas en el espacio afín euclídeo (Como es este caso). Para posiciones relativas se estudian la linealidad de los vectores directores. Y el vector formado entre puntos de las dos rectas. Se estudia el rango. Y para la perpendicularidad solo se tiene en cuenta el producto escalar de los vectores. No sé se suele imponer su las rectas se corten. Al menos yo no lo vi en ningún problema y he hecho muchos.

Respecto a este problema, no he comprobado se las 3 rectas se cortan ( lo dudo). Si no se cortaran entonces según tu definición el problema no tiene solución.

Repito que en las definiciones de geometría afín euclídeo que yo utilizo. Para la perpendicularidad solo se tiene en cuenta la dirección de las rectas. Puede pasar que las rectas no se corten y se crucen perpendicularmente. ( Por cierto, en España cuando dos rectas se cruzan significa que no se intersectan).

Saludos.
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« Respuesta #15 : Ayer a las 05:47:27 am »

En el enlace que pones, abajo en la página, hay un comentario del una señora llamada Kristina Yakovleva, ella dice que

Cita
La definición de rectas perpendiculares está incompleta. Si las rectas son perpendiculares, entonces el producto escalar de sus vectores direccionales es cero. Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Deben además pertenecer a un mismo plano (ya que deben formar un ángulo recto).

Aquí, a las rectas que no pertenecen a un mismo plano, se les llama alabeadas.


Más tarde revisaré lo primero que debí revisar, mi libro.


Saludos

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« Respuesta #16 : Ayer a las 06:28:07 am »

En el enlace que pones, abajo en la página, hay un comentario del una señora llamada Kristina Yakovleva, ella dice que

Cita
La definición de rectas perpendiculares está incompleta. Si las rectas son perpendiculares, entonces el producto escalar de sus vectores direccionales es cero. Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Deben además pertenecer a un mismo plano (ya que deben formar un ángulo recto).

Aquí, a las rectas que no pertenecen a un mismo plano, se les llama alabeadas.


Más tarde revisaré lo primero que debí revisar, mi libro.


Saludos



Más generalmente toda curva no plana se le llama alabeada. Pero lo cortés no quita lo valiente. Es decir el ángulo entre dos rectas es el ángulo formado entre sus vectores directores, independientemente de que las rectas sean secantes o no, y cuando este ángulo es 90° son perpendiculares.

Ya te digo que desde mi experiencia en espacio afín euclídeo (este caso) esta es la definición. No digo que en otros contextos se añada la intersección.
Saludos.

P.D.: La justificación que hace la mujer de que se deben cortar para que formen ángulo recto no tiene nada que ver con la definición de ángulo entre rectas en el espacio afín euclídeo.
Mira la pag 25 Tema 3
Añadido:
En la pág. 26 da la condición de perpendicularidad entre rectas


https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/primero/Apuntes/Espacio_afin/espacio_afin_euclideo.pdf&ved=2ahUKEwiL2NiQ1JPkAhVFJBoKHablAJ4QFjAAegQIBBAB&usg=AOvVaw38Q48jGs9PIDTvHO0gwPXH&cshid=1566380298677

Saludos.
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« Respuesta #17 : Ayer a las 07:52:57 am »

Hola, natydlv.



entonces voy a llamar:

[texx]R_0[/texx] a la recta que pasa por [texx]P[/texx]
[texx]R_1:(x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2)[/texx]
[texx]R_2:(x,y,z)=(2,0,-3)+a(2,-2,3)[/texx]

ahora me resulta todavía mas confuso, alguna ayuda?

Por qué confuso, si tú misma ya sabes qué dos vectores son:

[texx]R_{1}:(x,y,z)=(-4,2,0)+a({\color{blue}1,5,-2})
 [/texx]

[texx]R_{2}:(x,y,z)=(2,0,-3)+a({\color{magenta}2,-2,3})
 [/texx]

Sólo tienes que buscar uno que sea perpendicular a ambos.

Lo más inmediato es usar el producto vectorial, como decía Robin, y además es que el problema lo pide, se ve que está “inventado” para eso.

Ahora bien, en otros casos, si no estuvieras en [texx]\mathbb{R}^{3}
 [/texx], no se podría, y entonces tendrías que usar el producto escalar con un sistema de ecuaciones, que tampoco es muy difícil; mira:

Buscamos un vector (a,b,c) que cumpla eso, entonces es simplemente plantear el producto escalar para los dos y resolver el sistema

[texx]\lambda(1,5,-2)\cdot(a,b,c)=0
 [/texx]

[texx]\beta(2,-2,3)\cdot(a,b,c)=0
 [/texx]

Operando:

[texx]a+5b-2c=\dfrac{0}{\lambda}=0
 [/texx]

[texx]2a-2b+3c=\dfrac{0}{\beta}=0
 [/texx]

Sumando ahora las ecuaciones tienes [texx]3a+3b+c=0
 [/texx], y de esto obtienes

[texx]c=-3(a+b)
 [/texx].

Entonces, tomando la primera ecuación, sustituimos

[texx]a+5b-2(-3)(a+b)=0\Rightarrow7a+11b=0
 [/texx]

que dividendo la ecuación entre 11 queda

[texx]\dfrac{7}{11}a+b=0\Rightarrow b=-\dfrac{7}{11}a
 [/texx]

Un vector es [texx]a(1,-\dfrac{7}{11},-\dfrac{12}{11})
 [/texx]; pero haciendo a=11 quitamos denominadores [texx](11,-7,-12)
 [/texx] y vemos que funciona el producto escalar.

Ahora, con el punto que te dan, ya tienes la ecuación; la puedes escribir directamente en forma vectorial y ya es muy fácil obtener las paramétricas despejando.

Saludos.
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« Respuesta #18 : Ayer a las 05:46:38 pm »

Hola

natydlv, te has quedado quietecita, no dices nada. Podrías compartirnos la definición que de dió tu profesor de rectas perpendiculares, así veremos qué necesitas.


Pongo la captura de un libro que respalda la versión de Robinlambada. Interesante libro.




Seguramente no hay consenso aún, por eso tenemos dos bandos defendiendo su postura.

El maestro Añadan...

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83763.msg335784#msg335784


Saludos

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