Ahora mismo no puedo mirarlo con detalle (estoy de vacaciones y no tengo papel y boli), pero así a bote pronto diría que la siguiente idea debería funcionar.
Puedes acotar por arriba [texx]|I_n|[/texx] por el producto del máximo del módulo del integrando en [texx]\gamma_n[/texx] y la longitud del camino [texx]\gamma_n[/texx]. Usando la manera en que están cogidos los caminos deberías poder acotar el módulo de la cotangente uniformemente, con la cota independiente de [texx]n[/texx] (aunque de esto no estoy 100% seguro). Entonces, como puedes acotar el denominador como algo que va como [texx]n^2[/texx] y la longitud del camino como algo que va como [texx]n[/texx], te debería quedar algo del estilo:
[texx]|I_n| \leq C/n[/texx]
donde [texx]C[/texx] es una constante independiente de [texx]n[/texx], y de ahí ya tienes el resultado.
Intenta rellenar los huecos a ver si funciona.
Hola, esa fue mi primera idea, pero al haber tenido el fallo tonto que comenté me quedé atascado.
Aunque de una forma algo tediosa he conseguido hacer justo lo que comentabas, a ver que les parece.
Si denotamos [texx]z=x+iy[/texx] tenemos que
[texx]\left |{i \dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}\right |=\left |{i \dfrac{e^{2iz}+1}{e^{iz}-1}}\right |=\left |{\dfrac{\left(1+e^{-2y}\cos(2x)\right)+ie^{-2y}\sen(2x)}{\left(1-e^{-2y}\cos(2x)\right)-ie^{-2y}\sen(2x)}}\right |=\sqrt{\dfrac{1+e^{-4y}+2e^{-2y}\cos(2x)}{1+e^{-4y}-2e^{-2y}\cos(2x)}}=\sqrt{\dfrac{e^{2y}+e^{-2y}+2\cos(2x)}{e^{2y}+e^{-2y}+2\cos(2x)}}=\sqrt{\dfrac{\cosh(2y)+\cos(2x)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}}=\sqrt{1+\dfrac{2\cos(2x)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}}[/texx]
Ahora, tenemos que al ser [texx]\cosh(x)[/texx] par y creciente para [texx]x>0[/texx], se tiene que para [texx]n \geq 1[/texx] y [texx]-n+1/2 \leq t \leq n-1/2[/texx]
[texx]\cosh(\pi-2\pi n) - \cos(2 \pi t)=\cosh(\pi(2n-1))-\cos(2\pi t) \geq \cosh(\pi(2n-1))-1 \geq \cosh(\pi)-1>1[/texx]
[texx]\cosh(2 \pi t) - \cos(\pi(2n-1)) =\cosh(2 \pi t) +1 \geq \cosh(0)+1=2>1[/texx]
luego
[texx]\left |{\cot(\pi \gamma_1(t))}\right |=\sqrt{1+\dfrac{2 \cos(2 \pi t)}{\cosh(\pi-2\pi n) - \cos(2 \pi t)}} \leq \sqrt{1+\dfrac{2}{1}}=\sqrt{3}[/texx]
[texx]\left |{\cot(\pi \gamma_2(t))}\right |=\sqrt{1+\dfrac{2 \cos(\pi(2n-1))}{\cosh(2 \pi t) - \cos(\pi(2n-1))}}\leq \sqrt{1+\dfrac{2}{1}}=\sqrt{3}[/texx]
y como [texx]\cot(z)[/texx] es impar
[texx]\left |{\cot(\pi \gamma_3(t))}\right |=\left |{\cot(-\pi \gamma_1(t))}\right |=\left |{-\cot(\pi \gamma_1(t))}\right |=\left |{\cot(\pi \gamma_1(t))}\right | \leq \sqrt{3}[/texx]
[texx]\left |{\cot(\pi \gamma_4(t))}\right |=\left |{\cot(-\pi \gamma_2(t))}\right |=\left |{-\cot(\pi \gamma_2(t))}\right |=\left |{\cot(\pi \gamma_2(t))}\right | \leq \sqrt{3}[/texx]
Tomando ahora [texx]n > |w| +1/2[/texx],
[texx]\left |{\gamma_1(t)^2 - w^2}\right | \geq \left |{\left |{\gamma_1(t)}\right |^2 - \left |{w}\right |^2}\right |=\left |{t^2+(n-1/2)^2-|w|^2}\right |=t^2+(n-1/2)^2-|w|^2 \geq t^2+(n-1/2)^2 \geq 2(n-1/2)^2=2n^2-2n+1/2[/texx]
[texx]\left |{\gamma_2(t)^2 - w^2}\right | \geq \left |{\left |{\gamma_2(t)}\right |^2 - \left |{w}\right |^2}\right |=\left |{t^2+(n-1/2)^2-|w|^2}\right | \geq 2n^2-2n+1/2[/texx]
[texx]\left |{\gamma_3(t)^2 - w^2}\right |=\left |{\gamma_1(t)^2 - w^2}\right |\geq 2n^2-2n+1/2[/texx]
[texx]\left |{\gamma_4(t)^2 - w^2}\right |=\left |{\gamma_2(t)^2 - w^2}\right |\geq 2n^2-2n+1/2[/texx]
Con todo, si es [texx]n > |w| +1/2[/texx] se tiene que
[texx]\displaystyle\max_{z \in\gamma_n}{\left |{f(z)}\right |}=\displaystyle\max_{z \in\gamma_n}{\dfrac{\left |{\pi \cot(\pi z)}\right |}{\left |{z^2 - w^2}\right |}}\leq \dfrac{\pi \sqrt{3}}{2n^2-2n+1/2}[/texx]
con lo cual
[texx]\left |{I_n}\right | \leq L(\gamma_n) \displaystyle\max_{z \in\gamma_n}{\left |{f(z)}\right |} \leq 4 \pi \sqrt{3} \dfrac{2n-1}{2n^2-2n+1/2} \rightarrow{}0[/texx]
¿Es todo correcto?
Un saludo y gracias por las respuestas
