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Autor Tema: Sucesión de integrales de contorno convergentes a cero  (Leído 141 veces)
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Eparoh
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« : 12/08/2019, 05:45:15 pm »

Hola, tengo la siguiente sucesión de integrales

[texx]I_n=\displaystyle\int_{\gamma_n} f(z) \hspace{0.5mm} \textrm{dz} = \displaystyle\int_{\gamma_n} \dfrac{\pi \cot(\pi z)}{z^2 - w^2} \hspace{0.5mm} \textrm{dz}[/texx]

donde [texx]w \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}[/texx] y [texx]\gamma_n[/texx] es cuadrado de vértices [texx](n-1/2)(1+i), (n-1/2)(1-i), (n-1/2)(-1-i), (n-1/2)(-1+i)[/texx].

Estoy intentando ver que

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{I_n} =0[/texx]

Así, parametrizando [texx]\gamma_n[/texx] en los cuatros segmentos [texx]\gamma_1(t)=t+(-n+1/2)i, \gamma_2(t)=n-1/2+ti, \gamma_3(t)=-t+(n-1/2)i, \gamma_4(t)=-n+1/2 -ti[/texx] con [texx]-n+1/2 \leq t \leq n-1/2[/texx] se tiene que

[texx]I_n=\displaystyle\int_{\gamma_n} f(z) \hspace{0.5mm} \textrm{dz}=\displaystyle\int_{-n+1/2}^{n-1/2} \displaystyle\sum_{i=1}^4{f\left( \gamma_i(t) \right) \hspace{0.5mm} \textrm{dt}}[/texx]

y al ser [texx]f[/texx] una función impar y observando que [texx]\gamma_1(t)=-\gamma_3(t)[/texx] y [texx]\gamma_2(t)=-\gamma_4(t)[/texx], se tendría que

[texx]\displaystyle\sum_{i=1}^4{f\left( \gamma_i(t) \right)} =0[/texx]

luego [texx]I_n=0[/texx].

El problema es que se que dicha integral no puede ser nula pero no se donde estoy fallando, ¿alguna idea de donde esta el fallo?
Y bueno, ¿alguna idea de como demostrar que dicho límite es nulo? Mi primera idea fue intentar emplear la desigualdad ML pero al obtener que la integral era nula y no conseguir ver el error, no he sabido continuar, obviamente  :¿eh?:

Un saludo y muchas gracias por sus respuestas.
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 12/08/2019, 06:35:15 pm »

Hola

A ver


Usando la Fórmula integral de Cauchy

https://es.m.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchy


Podemos reescribir la integral como

[texx]I_n=\displaystyle\int_{\gamma_n}\dfrac{\pi cot(\pi z)}{z^2-w^2}dz=\dfrac{1}{2w}\left(\int_{\gamma_n}\dfrac{\pi cot(\pi z)}{z-w}dz-\int_{\gamma_n}\dfrac{\pi cot(\pi z)}{z+w}dz\right)[/texx]


Podemos aplicar la fórmula dado que el cuadrado contendrá a w y a -w a medida que n crezca y dado que la cotangente es una función impar obtengo

[texx]I_n=\dfrac{2\pi^2i}{w}cot(\pi w)[/texx]

No se anula, habrá que revisar

Saludos


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Eparoh
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« Respuesta #2 : 13/08/2019, 02:26:08 am »

Hola, creo que no se puede emplear la fórmula de Cauchy pues la función no es holomorfa en los cuadrados.
Empleando el teorema de los residuos se llega a que

[texx]I_n=2\pi i \left( \dfrac{\pi cot(\pi w)}{w}
- \dfrac{1} {w^2} +2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\dfrac{1}{k^2-w^2}} \right) [/texx]

 Por eso se que no es nula, y si consiguiera ver que [texx]I_n[/texx] converge a cero, se obtiene una expresión en serie para la cotangente que es lo que buscaba desde el principio.

Un saludo y gracias
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« Respuesta #3 : 13/08/2019, 02:43:57 am »

Hola, creo que no se puede emplear la fórmula de Cauchy pues la función no es holomorfa en los cuadrados.
...

¿En los cuadrados? ¿Te refieres al grado del denominador o al contorno?

Sí te refieres al denominador, nota que he cambiado la integral original, la expresé como suma de dos expresiones con fracciones simples en sus denominadores.

Saludos
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« Respuesta #4 : 13/08/2019, 03:55:31 am »

Hola, creo que no se puede emplear la fórmula de Cauchy pues la función no es holomorfa en los cuadrados.
...

¿En los cuadrados? ¿Te refieres al grado del denominador o al contorno?

Sí te refieres al denominador, nota que he cambiado la integral original, la expresé como suma de dos expresiones con fracciones simples en sus denominadores.

Saludos


Hola, para aplicar la fórmula integral de Cauchy, tal como lo recuerdo y como aparece enunciado en Wikipedia en el enlace que porporcionaste, la función debe ser analítica en un dominio simplemente conexo que contenga al punto [texx]w[/texx] y al camino [texx]\gamma_n[/texx], y esto no ocurre pues cualquier dominio que cumpla estas condiciones contendrá al menos un entero y la función [texx]\cot(\pi z)[/texx] no es analítica en los enteros.

Además, el ejercicio originalmente pide lo que he puesto en el segundo comentario, demostrar que [texx]I_n[/texx] converge a cero para hallar la expresión de [texx]\cot(\pi z)[/texx] como su expresión en fracciones simples, y con la expresión que tu obtienes, quedaría que [texx]I_n[/texx] es constante y no nula para [texx]w[/texx] en general.

Un saludo y gracias por tu tiempo, a ver si conseguimos ver el fallo y llegar a la convergencia nula de [texx]I_n[/texx].

EDITO: Con los cuadrados me refería a que el contorno [texx]\gamma_n[/texx] son cuadrados centrados en el origen y la función no es holomorfa en el interior de éstos.

EDITO 2: Ya encontré el fallo en el post original. No tuve en cuenta que al derivar [texx]\gamma_3(t)[/texx] y [texx]\gamma_4(t)[/texx] se obtiene un signo negativo, con lo que las integrales no se cancelan entre si, si no que se suman.
Ahora, la duda sigue siendo como se podría demostrar que [texx]I_n[/texx] converge a cero. A ver si alguien tiene alguna idea, porque estoy bastante atascado con ello.
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geómetracat
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« Respuesta #5 : 13/08/2019, 01:12:45 pm »

Ahora mismo no puedo mirarlo con detalle (estoy de vacaciones y no tengo papel y boli), pero así a bote pronto diría que la siguiente idea debería funcionar.

Puedes acotar por arriba [texx]|I_n|[/texx] por el producto del máximo del módulo del integrando en [texx]\gamma_n[/texx] y la longitud del camino [texx]\gamma_n[/texx]. Usando la manera en que están cogidos los caminos deberías poder acotar el módulo de la cotangente uniformemente, con la cota independiente de [texx]n[/texx] (aunque de esto no estoy 100% seguro). Entonces, como puedes acotar el denominador como algo que va como [texx]n^2[/texx] y la longitud del camino como algo que va como [texx]n[/texx], te debería quedar algo del estilo:
[texx]|I_n| \leq C/n[/texx]
donde [texx]C[/texx] es una constante independiente de [texx]n[/texx], y de ahí ya tienes el resultado.

Intenta rellenar los huecos a ver si funciona.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
ingmarov
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« Respuesta #6 : 13/08/2019, 01:17:28 pm »

...Con los cuadrados me refería a que el contorno [texx]\gamma_n[/texx] son cuadrados centrados en el origen y la función no es holomorfa en el interior de éstos.

...

Pfff, tienes razón.  :BangHead: :BangHead:
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« Respuesta #7 : 16/08/2019, 05:34:13 pm »

Ahora mismo no puedo mirarlo con detalle (estoy de vacaciones y no tengo papel y boli), pero así a bote pronto diría que la siguiente idea debería funcionar.

Puedes acotar por arriba [texx]|I_n|[/texx] por el producto del máximo del módulo del integrando en [texx]\gamma_n[/texx] y la longitud del camino [texx]\gamma_n[/texx]. Usando la manera en que están cogidos los caminos deberías poder acotar el módulo de la cotangente uniformemente, con la cota independiente de [texx]n[/texx] (aunque de esto no estoy 100% seguro). Entonces, como puedes acotar el denominador como algo que va como [texx]n^2[/texx] y la longitud del camino como algo que va como [texx]n[/texx], te debería quedar algo del estilo:
[texx]|I_n| \leq C/n[/texx]
donde [texx]C[/texx] es una constante independiente de [texx]n[/texx], y de ahí ya tienes el resultado.

Intenta rellenar los huecos a ver si funciona.

Hola, esa fue mi primera idea, pero al haber tenido el fallo tonto que comenté me quedé atascado.
Aunque de una forma algo tediosa he conseguido hacer justo lo que comentabas, a ver que les parece.

Si denotamos [texx]z=x+iy[/texx] tenemos que

[texx]\left |{i \dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}\right |=\left |{i \dfrac{e^{2iz}+1}{e^{iz}-1}}\right |=\left |{\dfrac{\left(1+e^{-2y}\cos(2x)\right)+ie^{-2y}\sen(2x)}{\left(1-e^{-2y}\cos(2x)\right)-ie^{-2y}\sen(2x)}}\right |=\sqrt{\dfrac{1+e^{-4y}+2e^{-2y}\cos(2x)}{1+e^{-4y}-2e^{-2y}\cos(2x)}}=\sqrt{\dfrac{e^{2y}+e^{-2y}+2\cos(2x)}{e^{2y}+e^{-2y}+2\cos(2x)}}=\sqrt{\dfrac{\cosh(2y)+\cos(2x)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}}=\sqrt{1+\dfrac{2\cos(2x)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}}[/texx]

Ahora, tenemos que al ser [texx]\cosh(x)[/texx] par y creciente para [texx]x>0[/texx], se tiene que para [texx]n \geq 1[/texx] y [texx]-n+1/2 \leq t \leq n-1/2[/texx]

[texx]\cosh(\pi-2\pi n) - \cos(2 \pi t)=\cosh(\pi(2n-1))-\cos(2\pi t) \geq \cosh(\pi(2n-1))-1 \geq \cosh(\pi)-1>1[/texx]

[texx]\cosh(2 \pi t) - \cos(\pi(2n-1)) =\cosh(2 \pi t) +1 \geq \cosh(0)+1=2>1[/texx]

luego

[texx]\left |{\cot(\pi \gamma_1(t))}\right |=\sqrt{1+\dfrac{2 \cos(2 \pi t)}{\cosh(\pi-2\pi n) - \cos(2 \pi t)}} \leq \sqrt{1+\dfrac{2}{1}}=\sqrt{3}[/texx]

[texx]\left |{\cot(\pi \gamma_2(t))}\right |=\sqrt{1+\dfrac{2 \cos(\pi(2n-1))}{\cosh(2 \pi t) - \cos(\pi(2n-1))}}\leq \sqrt{1+\dfrac{2}{1}}=\sqrt{3}[/texx]

y como [texx]\cot(z)[/texx] es impar

[texx]\left |{\cot(\pi \gamma_3(t))}\right |=\left |{\cot(-\pi \gamma_1(t))}\right |=\left |{-\cot(\pi \gamma_1(t))}\right |=\left |{\cot(\pi \gamma_1(t))}\right | \leq \sqrt{3}[/texx]

[texx]\left |{\cot(\pi \gamma_4(t))}\right |=\left |{\cot(-\pi \gamma_2(t))}\right |=\left |{-\cot(\pi \gamma_2(t))}\right |=\left |{\cot(\pi \gamma_2(t))}\right | \leq \sqrt{3}[/texx]

Tomando ahora [texx]n > |w| +1/2[/texx],

[texx]\left |{\gamma_1(t)^2 - w^2}\right | \geq \left |{\left |{\gamma_1(t)}\right |^2 - \left |{w}\right |^2}\right |=\left |{t^2+(n-1/2)^2-|w|^2}\right |=t^2+(n-1/2)^2-|w|^2 \geq t^2+(n-1/2)^2 \geq 2(n-1/2)^2=2n^2-2n+1/2[/texx]

[texx]\left |{\gamma_2(t)^2 - w^2}\right | \geq \left |{\left |{\gamma_2(t)}\right |^2 - \left |{w}\right |^2}\right |=\left |{t^2+(n-1/2)^2-|w|^2}\right | \geq 2n^2-2n+1/2[/texx]

[texx]\left |{\gamma_3(t)^2 - w^2}\right |=\left |{\gamma_1(t)^2 - w^2}\right |\geq 2n^2-2n+1/2[/texx]

[texx]\left |{\gamma_4(t)^2 - w^2}\right |=\left |{\gamma_2(t)^2 - w^2}\right |\geq 2n^2-2n+1/2[/texx]

Con todo, si es [texx]n > |w| +1/2[/texx] se tiene que

[texx]\displaystyle\max_{z \in\gamma_n}{\left |{f(z)}\right |}=\displaystyle\max_{z \in\gamma_n}{\dfrac{\left |{\pi \cot(\pi z)}\right |}{\left |{z^2 - w^2}\right |}}\leq \dfrac{\pi \sqrt{3}}{2n^2-2n+1/2}[/texx]

con lo cual

[texx]\left |{I_n}\right | \leq L(\gamma_n) \displaystyle\max_{z \in\gamma_n}{\left |{f(z)}\right |} \leq 4 \pi \sqrt{3} \dfrac{2n-1}{2n^2-2n+1/2} \rightarrow{}0[/texx]

¿Es todo correcto?
Un saludo y gracias por las respuestas :guiño:
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« Respuesta #8 : 17/08/2019, 07:08:33 am »

Yo lo veo todo bien.
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