Detallando el caso [texx]F:R^2 \rightarrow{R} [/texx]

Se considera un intervalo cerrado 2-dimensional
I, es un cuadrado de lado
2r, en ese cuadrado
F, por ser continua e
I un intervalo cerrado, presenta un mínimo
m.
Siempre existe una constante positiva [texx]M'>m[/texx]. La definición de límite implica [texx]\exists{S'}>r\sqrt[ ]{2} \ / \ si \ \left\|{x}\right\|>S' \Rightarrow{F(x)>M'}[/texx] . Es claro que la bola [texx]B(\vec{O},S')[/texx] incluye a
I, y en los puntos que no pertenecen a la bola (región punteada de color negro), se tiene [texx]F(x)>M'>m[/texx] Es decir en esa región el valor de la función es simpre mayor que
m.
Existe el intervalo 2-dimensional cerrado [texx]I_1=[(-S',-S'),(S',S')][/texx]. Se ve claramente en la figura que [texx]I_1\supset{B(\vec{O},S')}\supset{I}[/texx]. F por ser continua y por ser [texx]I_1[/texx] un intervalo cerrado, presenta un minimo
m’. El menor entre
m’ y
m es siempre
m’ por que [texx]I_1\supset{I}[/texx] y evidentemente, por el hecho de que en la región punteada externa al cuadrado [texx]I_1[/texx], el valor de
F es mayor que
m, por ende será también mayor que
m'. En consecuencia
m’ es el mínimo de
F en [texx]R^2[/texx]
En [texx]R^n[/texx] se aplica el mismo método; pero se supone que [texx]S'>r\sqrt[ ]{n}[/texx], para que [texx]B(\vec{O},S')\supset{I}[/texx]
Saludos