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Autor Tema: Intersección de sigma álgebras  (Leído 75 veces)
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Julio_fmat
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« : 11/08/2019, 08:45:10 pm »

Sean [texx]\mathcal{A}_1[/texx] y [texx]\mathcal{A}_2[/texx] dos [texx]\sigma[/texx]-álgebras de subconjuntos de [texx]\Omega[/texx]. Demuestre que [texx]\mathcal{A}_1\cap \mathcal{A}_2[/texx] no necesariamente es una [texx]\sigma[/texx]-álgebra. Para ello considere el espacio muestral [texx]\Omega=\left\{1,2,3\right\}[/texx] y las [texx]\sigma[/texx]-álgebras [texx]\mathcal{A}_1=\left\{\varnothing, \left\{1\right\},\left\{2,3\right\},\Omega\right\}[/texx] y [texx]\mathcal{A}_2=\left\{\varnothing,\left\{1,2\right\},\left\{3\right\},\Omega \right\}[/texx].

Hola, según el enunciado me queda que [texx]\mathcal{A}_1\cap \mathcal{A}_2=\left\{\varnothing, \Omega \right\}[/texx], pero esto último es una sigma álgebra?
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« Respuesta #1 : 11/08/2019, 10:55:05 pm »

Sean [texx]\mathcal{A}_1[/texx] y [texx]\mathcal{A}_2[/texx] dos [texx]\sigma[/texx]-algebras de subconjuntos de [texx]\Omega[/texx]. Demuestre que [texx]\mathcal{A}_1\cap \mathcal{A}_2[/texx] no necesariamente es una [texx]\sigma[/texx]-algebra. Para ello considere el espacio muestral [texx]\Omega=\left\{1,2,3\right\}[/texx] y las [texx]\sigma[/texx]-algebras [texx]\mathcal{A}_1=\left\{\varnothing, \left\{1\right\},\left\{2,3\right\},\Omega\right\}[/texx] y [texx]\mathcal{A}_2=\left\{\varnothing,\left\{1,2\right\},\left\{3\right\},\Omega \right\}[/texx].

Hola, segun el enunciado me queda que [texx]\mathcal{A}_1\cap \mathcal{A}_2=\left\{\varnothing, \Omega \right\}[/texx], pero esto ultimo es una sigma algebra?

Es que el ejercicio es erróneo: la intersección de una familia contable de sigma álgebras es una sigma álgebra. Quizá en vez de intersección quisiste poner unión, y ahí sí que es cierto que la unión de dos sigma álgebras casi nunca es una sigma álgebra.
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« Respuesta #2 : 12/08/2019, 06:24:42 am »

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¿solo la intersección ´contable´?

Saludos.
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« Respuesta #3 : 12/08/2019, 08:11:01 am »

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¿solo la intersección ´contable´?

Saludos.

No, la intersección de una familia de sigma álgebras con cardinalidad arbitraria (obviamente definidas sobre el mismo espacio) es una sigma álgebra. Ciertamente mi mensaje anterior es innecesariamente restrictivo, lo cierto es que al escribirlo no estaba del todo seguro de que la afirmación fuese cierta en el caso general.
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