Hallar el límite

[johandh_]

Tengo problemas con el siguiente límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[3 ]{x^3+8x^2}-x}[/texx]

Intenté eliminar la indeterminación con el producto notable de diferencia de cubos pero, a diferencia de casos anteriores, en este el segundo término no es una constante sino una variable. Si digo que [texx]x=\sqrt[ 3]{x^3}[/texx] y elevo ambos términos al cubo, tengo:

[texx](\sqrt[3 ]{x^3+8x^2})^3-(\sqrt[ 3]{x^3})^3[/texx]

Luego

[texx]x^3+8x^2-x^3= (\sqrt[3]{x^3+8x^2}-x)[(\sqrt[ 3]{x^3+8x^2})^2+x\cdot{\sqrt[ 3]{x^3+8x^2}}+x^2][/texx]

Ya luego de multiplicar y dividir la expresión por el factor largo y obtener [texx]8x^2[/texx] en el numerador me sigue produciendo una indeterminación.

[AlexFeynman]

No sé si funcionará, pero y si pruebas a sacar una x fuera de la la raíz haciendo [texx]x^3 + 8x^2=x^3(1+8/x)[/texx]

[manooooh]

Hola

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[3 ]{x^3+8x^2}-x}[/texx]

Intenté eliminar la indeterminación con el producto notable de diferencia de cubos pero, a diferencia de casos anteriores, en este el segundo término no es una constante sino una variable. Si digo que [texx]x=\sqrt[ 3]{x^3}[/texx] y elevo ambos términos al cubo, tengo:

[texx]\color{red}(\sqrt[3 ]{x^3+8x^2})^3\color{black}-(\sqrt[ 3]{x^3})^3[/texx]
(...)

Está mal el primer término. Debería ser: [texx]\color{red}\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^3+8x^2})^3}=\sqrt[3]{x^3+8x^2}[/texx]. Si quisieras elevar al cubo no podés hacerlo término a término: si tenés [texx]L=\lim(f(x)-g(x))\implies L^3=[\lim(f(x)-g(x))]^3=\lim(f(x)-g(x))^3=\lim(f(x)-g(x))((f(x))^2+f(x)g(x)+(g(x))^2)[/texx].

No sé si funcionará, pero y si pruebas a sacar una x fuera de la la raíz haciendo [texx]x^3 + 8x^2=x^3(1+8/x)[/texx].

Yo seguiría este camino.

Saludos

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Título cambiado de "Hallar el límite" a "Hallar [texx]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3+8x^2}-x[/texx]".

[Abdulai]

Tengo problemas con el siguiente límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[3 ]{x^3+8x^2}-x}[/texx]
...

En esta clase de límites recordá la identidad  [texx]a^n-b^n = (a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)[/texx]

Para [texx]n=3\;\;\longrightarrow\;\;a^3-b^3 = (a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)\;\;\longrightarrow\;\;a-b = \dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/texx]

Entonces  [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[3 ]{x^3+8x^2}-x} = \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}  \dfrac{\cancel{x^3}+8x^2-\cancel{x^3}}{(x^3+8x^2)^{2/3}+(x^3+8x^2)^{1/3}x+x^2}   [/texx]

Dividís numerador y denominador por [texx]x^2[/texx]  y sale como por un tubo 

[hméndez]

Tengo problemas con el siguiente límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[3 ]{x^3+8x^2}-x}[/texx]

...

La solución que te  indica Abdulai es la más ampliamente usada.
Aquí te dejo una particular por si te interesa.

[texx]\sqrt[3 ]{x^3+8x^2}-x=x(\sqrt[3 ]{1+\frac{8}{x}}-1)=\displaystyle\frac{\sqrt[3 ]{1+\frac{8}{x}}-1}{\frac{1}{x}}[/texx]

Si llamas [texx] z=\sqrt[3 ]{1+\frac{8}{x}}[/texx] cuando [texx]x\rightarrow{}+\infty[/texx], [texx]z\rightarrow{}1^+[/texx]

[texx]\frac{1}{x}=\frac{z^3-1}{8}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[3 ]{x^3+8x^2}-x}\sim{}\displaystyle\lim_{z \to{1^+}}{\displaystyle\frac{8(z-1)}{z^3-1}}=\displaystyle\lim_{z \to{1^+}}\displaystyle\frac{8(z-1)}{(z-1)(z^2+z+1)}=\displaystyle\frac{8}{3}[/texx]

Saludos
Editado

[Abdulai]

Otra forma mas es a partir del paso 

[texx]\sqrt[3 ]{x^3+8x^2}-x=x(\sqrt[3 ]{1+\frac{8}{x}}-1)=\displaystyle\frac{\sqrt[3 ]{1+\frac{8}{x}}-1}{\frac{1}{x}}[/texx]      de hméndez
 
considerar [texx]u=\frac{1}{x}\;\;\longrightarrow\;\; \displaystyle \lim_{u\to 0}\dfrac{\sqrt[3 ]{1+8 u}-1}{u}[/texx]     y aplicar L'Hopital.

[Juan Pablo Sancho]

Otro camino:
[texx]g(t) = \sqrt[3]{t} [/texx] usar el teorema del valor medio a [texx]g(x^3+8 \cdot x^2) - g(x^3) [/texx]