Teorema de los ceros de Hilbert

[RomanMontoliu]

Hola, buenas tardes. Quería por favor que alguien me explicase la siguiente controversia que tengo acerca del teorema. Si mal no lo he entendido, por ejemplo, dado el ideal I(p) generado por el polinomio p(x,y) = xy -2x -y+2 = (x-1)(y-2) y cuyo conjunto algebraico de soluciones es V(I)={(1,2)} se supone que para el polinomio q(x,y) = x-1 debe existir un natural n tal que p(x,y) | q(x,y)^n pues la solución (1,2) es también solución de q(x,y) pero esto parece no posible ¡¡.

[geómetracat]

Es que [texx]V(I)[/texx] no es [texx]\{(1,2)\}[/texx], es la unión de las dos rectas [texx]x=1[/texx] y [texx]y=2[/texx].

Ahora el polinomio [texx]q(x,y)=x-1[/texx] no se anula en [texx]V(I)[/texx], porque no se anula en todos los puntos de la recta [texx]y=2[/texx], por lo que no puedes aplicar el teorema de los ceros para llegar a tu conclusión.
Y en efecto, [texx]p(x,y) \not\mid q(x,y)^n[/texx] para ningún natural [texx]n[/texx].

[RomanMontoliu]

 

[geómetracat]

Respecto a la pregunta a), sí. Por ejemplo, el ideal [texx](x_1^2)[/texx] es obviamente un ideal propio, pero no es radical, pues [texx]rad(x_1^2)=(x_1)[/texx].

Para b), espero a que termines, pero el hecho de que un polinomio que se anula en [texx]V(I)[/texx] pertenece a [texx]I[/texx] es falso: siguiendo con el ejemplo de arriba, [texx]x_1 \in V(x_1^2)[/texx], pero [texx]x_1 \notin (x_1^2)[/texx].

Añadido: He visto que has borrado el mensaje anterior. En el futuro te agradecería que no lo hicieras porque la respuesta queda sin contexto.
Para referencia: el apartado a) preguntaba si existen ideales propios que no sean radicales en un anillo de polinomios, mientras que b) iba a ser una supuesta prueba de que si un polinomio se anula en [texx]V(I)[/texx] entonces pertenece a [texx]I[/texx].