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Autor Tema: Cambio de parámetros en superficies regulares  (Leído 290 veces)
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GMat
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« : 09/08/2019, 07:30:54 pm »

¡Saludos! Me gustaría que me ayudaran con otra duda teórica sobre geometría.

Leyendo el libro de Do Carmo de curvas y superficies, sección 2.3, habla sobre el cambio de parámetros en una superficie regular. Mas concretamente aparece que dada una superficie regular [texx]S[/texx]  y dos parametrizaciones [texx]\phi:U\subset\mathbb{R}^2\rightarrow S[/texx], [texx]\psi:V\subset\mathbb{R}^2\rightarrow S[/texx] definidas como

[texx]\phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))[/texx]
[texx]\psi(\mu,\eta)=(x(\mu,\eta),y(\mu,\eta),z(\mu,\eta))[/texx]

Con [texx]U\cap V\neq\emptyset[/texx], entonces, existe el cambio de parámetros (me salto todo lo que dice antes de eso para no hacer el post muy largo)

[texx]u=(\mu,\eta)[/texx]
[texx]v=(\mu,\eta)[/texx]
[texx]\mu=(u,v)[/texx]
[texx]\eta=(u,v)[/texx]

Mi pregunta es: Mas allá de la utilidad del cambio de base en el espacio tangente o los teoremas que surgen a partir de eso ¿Hay una manera explicita de determinar el cambio de parámetros en la superficie?

Quiero aclarar bien mi duda, se trata simplemente si al tener dos parametrizaciones de la misma superficie, hay una manera explicita de hacer los cambio del tipo [texx]u=(\mu,\eta)[/texx]. ya que al priori uno toma [texx]u[/texx] como una variable, ¿Como se hace el cambio [texx]u=(\mu,\eta)[/texx]? Estoy casi seguro de que el cambio de parametros en la superficie es mas una cuestión teórica que una practica (en el sentido de encontrar problemas donde establecer el cambio de parámetros en la superficie sea un problema importante) pero aun así me dio curiosidad.

Gracias de antemano por cualquier respuesta dada.
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« Respuesta #1 : 10/08/2019, 04:01:58 am »

Si te refieres a obtener fórmulas explícitas para el cambio de parámetros yo diría que es bastante complicado (y en general imposible). Es un problema parecido (pero más difícil) que el siguiente: dado un difeomorfismo [texx]f: \Bbb R^2 \to \Bbb R^2[/texx] encontrar explícitamente su inversa.

De todas maneras, para los desarrollos teóricos solamente te interesa saber que existe el cambio de parámetros, y para cálculos locales en la práctica se usa un número bastante limitado de parametrizaciones de las cuales ya se conoce el cambio de parámetros. De hecho, muchas veces lo que pasa es al revés de lo que planteas: conoces una parametrización y haces un cambio de parámetros para obtener otra parametrización que te sea más conveniente.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #2 : 11/08/2019, 02:19:41 am »

Muchas gracias por la respuesta. Una cosa respecto al cambio de coordenadas. Si yo deseara una parametrización donde por alguna razón necesitara por ejemplo que [texx]\mu_u(u,v)=1[/texx] (o a cualquier otra cosa)  ¿Podría tomarlo sin ningún tipo de restricción? Al no tener una manera explicita de calcular los parámetros [texx]u,v[/texx] y en función de [texx]\mu,\eta[/texx] (y viceversa), ¿Qué pasaría si uno quisiera manipular el resultado de las derivadas parciales?

De nuevo, solo es un tema de curiosidad, ignoro (y no es la razón de preguntar) si estas cosas realmente aparezcan o puedan aparecer en algún tipo de problema
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« Respuesta #3 : 11/08/2019, 09:22:43 am »

Piensa que cualquier difeomorfismo entre abiertos del plano te da una parametrización nueva (componiendo con la que ya tienes de entrada). Así que puedes tener cualquier condición que se pueda realizar con un difeomorfismo (por ejemplo, la que pones, aunque esa es trivial tomando la identidad como "cambio de parámetros").

Una cosa que no podrías tener, por ejemplo, son las derivadas parciales iguales a [texx]0[/texx].
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