Espera, rebobino
Función compuestaSean [texx]f[/texx], con dominio [texx]A[/texx], y [texx]g[/texx] funciones tales que el recorrido de [texx]f[/texx], [texx]f(A)[/texx], se encuentra en el dominio de [texx]g[/texx], [texx]B[/texx].
[texx]\xymatrix{ A\ar[r]^f \ar[dr]_{gof} & f(A)\subset B\ar[d]^g \\ & R }[/texx]
"
Definición. Se define la
composición de [texx]f[/texx] con [texx]g[/texx], como la función [texx]g\circ{f}[/texx], que toma en los puntos del dominio de [texx]f[/texx] el valor: [texx]g\circ{f}=g(f(x))[/texx]."
EjercicioDadas las funciones
[texx]\begin{array}{rccc}f&:\mathbb{R}-\{0\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{1}{x^2}\end{array}[/texx];
[texx]\begin{array}{rccc}g&:\mathbb{R}-\{-1\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{x}{x+1}\end{array}[/texx]
determinar [texx]f\circ{g}[/texx].
Solución[texx]f\circ{g}=f(g(x))=f\left(\displaystyle\frac{x}{x+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{x}{x+1}\right)^2}=\displaystyle\frac{(x+1)^2}{x^2}[/texx]
cuyo dominio es [texx]\mathbb{R}-\{-1,0\}[/texx] puesto que [texx]g[/texx] no está definida en -1 y, [texx]g(x)[/texx] se anula únicamente para [texx]x=0[/texx] y [texx]f[/texx] no está definida para [texx]x=0[/texx]. Obsérvese que la expresión obtenida únicamente no está definida en [texx]x=0[/texx], y sin embargo el dominio de la composición es otro."
Mis dudas son:¿[texx]g(-1)\not\subset{B}[/texx]?;
¿[texx]g(0)\not\subset{B}[/texx]?. Estas dos dudas son porque no entiendo bien el signo [texx]\subset{}[/texx];
¿por qué dice la palabra "únicamente"?; ¿porque en el caso de los polinomios de una variable de grado mayor que uno sería diferente?; el hecho de que [texx]f[/texx] no esté definida para [texx]x=0[/texx], ¿cuál es el razonamiento que le precede?.
Un saludo.
Hola, [texx]Dom\;g(x)=\mathbb{R}-\{-1\}[/texx] . -1 no pertenece al dominio de [texx]g(x)[/texx] , por tanto, [texx]\not\exists g(-1)[/texx]. No tiene sentido preguntarse nada sobre algo que no existe.
[texx]g(0)=0\in{}Dom\,g(x)[/texx] , por tanto [texx]g(0)\subset{}B[/texx].
¿por qué dice la palabra "únicamente"?; ¿porque en el caso de los polinomios de una variable de grado mayor que uno sería diferente?; el hecho de que [texx]f[/texx] no esté definida para [texx]x=0[/texx], ¿cuál es el razonamiento que le precede?.
No entiendo muy bien el sentido de tu pregunta.
[texx]f(x)[/texx], no está definida unicamente en [texx]x=0[/texx], por que el cero es el único valor que anula el denominador y en matemáticas esta prohibido dividir entre cero.( no existen radicales que limiten también el dominio, ni otras limitaciones).
Para [texx]h(x)=f[g(x)]=\displaystyle\frac{(x+1)^2}{x^2}[/texx], el denominador solo se anula en cero, por ello
esta expresión matemática unicamente no está definida en x=0, pero
no se define a través de la expresión matemática, sino que
se define como composición de otras dos funciones, es decir la función tiene una "historia" que la condiciona, si el dominio de la función compuesta está incluido en la imagen de la función g(x) y g(-1) no existe, es decir no esta la imágen de -1 ( por -1 no pertenecer a su dominio), entonces tampoco estará x=-1 en el dominio de [texx]h(x)=f[g(x)][/texx]
Saludos.