Función compuesta

[Marcos Castillo]

Si sueles utilizar ordenador público, te puede resultar útil saber que puedes lograr cosas similares con algo menos de código.
Entra a tu mensaje y observa las modificaciones que nos hemos permitido hacer desde la administración.
Tomo nota. \dfrac está muy bien. Pero tengo que verlo otra vez. De momento no he visto más, tengo que fijarme

Hola, el caso es que me quedan 20 minutos de ordenador público, y quiero hacerlo bien. ¿Estáis familiarizados con la idea de función compuesta?. En el caso del ejemplo que quiero poner, sería este diagrama:

[texx]\xymatrix{ A\ar[r]^g \ar[dr]_{gof} & f(A)\subset B\ar[d]^g \\ & R }[/texx]

Dadas las funciones

[texx]f:\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\to\mathbb{R}\qquad x\longmapsto\dfrac{1}{x^2}[/texx]

[texx]g:\mathbb{R}\smallsetminus\{-1\} \to\mathbb{R}\quad x\longmapsto \dfrac{x}{x+1}[/texx]

determinar [texx]f\circ g[/texx]

Una vez hecho, se sabe que el dominio de  [texx]f\circ{g}[/texx] es [texx]\mathbb{R}-\{-1,0\}[/texx]. [texx]g(x)[/texx] se anula únicamente para [texx]x=0[/texx] y [texx]f[/texx] no está definida para [texx]x=0[/texx]

Mis dudas son:¿[texx]g(-1)\not\subset{B}[/texx]?;
¿[texx]g(0)\not\subset{B}[/texx]?;
¿por qué dice la palabra "únicamente"?; ¿porque en el caso de los polinomios de una variable de grado mayor que uno sería diferente?.
Un saludo.

[robinlambada]

Hola Marcos.

Hola, el caso es que me quedan 20 minutos de ordenador público, y quiero hacerlo bien. ¿Estais familiarizados con la idea de función compuesta?. En el caso del ejemplo que quiero poner, sería este diagrama:

[texx]\xymatrix{ A\ar[r]^g \ar[dr]_{gof} & f(A)\subset B\ar[d]^g \\ & R }[/texx]

Dadas las funciones

[texx]\begin{array}{rccc}f&:\mathbb{R}-\{0\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{1}{x^2}\end{array}[/texx]

[texx]\begin{array}{rccc}f&:\mathbb{R}-\{-1\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{x}{x+1}\end{array}[/texx]

determinar [texx]f\circ{g}[/texx]

Una vez hecho, se sabe que el dominio de  [texx]f\circ{g}[/texx] es [texx]\mathbb{R}-\{-1,0\}[/texx]. [texx]g(x)[/texx] se anula únicamente para [texx]x=0[/texx] y [texx]f[/texx] no está definida para [texx]x=0[/texx]

Mis dudas son:¿[texx]g(-1)\not\subset{B}[/texx]?;
¿[texx]g(0)\not\subset{B}[/texx]?;
¿por qué dice la palabra "únicamente"?; ¿porque en el caso de los polinomios de una variable de grado mayor que uno sería diferente?.
Un saludo.

No entiendo muy bien ni tu enunciado, entiendo que tu segunda función es [texx]g(x)=\displaystyle\frac{x}{x+1}[/texx],

¿Para que quieres saber si esto es cierto?

Mis dudas son:¿[texx]g(-1)\not\subset{B}[/texx]?;
¿[texx]g(0)\not\subset{B}[/texx]?;

[texx]g(-1)[/texx] y [texx]g(0)[/texx] pertenecen a la imagen de [texx]g(x)[/texx] , mientra que [texx]B[/texx] (aunque no lo especificas) entiendo que es el dominio de g(x)

Saludos.

[Marcos Castillo]

Espera, rebobino

Función compuesta

Sean [texx]f[/texx], con dominio [texx]A[/texx], y [texx]g[/texx] funciones tales que el recorrido de [texx]f[/texx], [texx]f(A)[/texx], se encuentra en el dominio de [texx]g[/texx], [texx]B[/texx].

[texx]\xymatrix{ A\ar[r]^f \ar[dr]_{gof} & f(A)\subset B\ar[d]^g \\ & R }[/texx]

"Definición. Se define la composición de [texx]f[/texx] con [texx]g[/texx], como la función [texx]g\circ{f}[/texx], que toma en los puntos del dominio de [texx]f[/texx] el valor: [texx]g\circ{f}=g(f(x))[/texx]."

Ejercicio

Dadas las funciones

[texx]\begin{array}{rccc}f&:\mathbb{R}-\{0\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{1}{x^2}\end{array}[/texx];

[texx]\begin{array}{rccc}g&:\mathbb{R}-\{-1\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{x}{x+1}\end{array}[/texx]

determinar [texx]f\circ{g}[/texx].

Solución

[texx]f\circ{g}=f(g(x))=f\left(\displaystyle\frac{x}{x+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{x}{x+1}\right)^2}=\displaystyle\frac{(x+1)^2}{x^2}[/texx]

cuyo dominio es [texx]\mathbb{R}-\{-1,0\}[/texx] puesto que [texx]g[/texx] no está definida en -1 y, [texx]g(x)[/texx] se anula únicamente para [texx]x=0[/texx] y [texx]f[/texx] no está definida para [texx]x=0[/texx]. Obsérvese que la expresión obtenida únicamente no está definida en [texx]x=0[/texx], y sin embargo el dominio de la composición es otro."

Mis dudas son:¿[texx]g(-1)\not\subset{B}[/texx]?;
¿[texx]g(0)\not\subset{B}[/texx]?. Estas dos dudas son porque no entiendo bien el signo [texx]\subset{}[/texx];
¿por qué dice la palabra "únicamente"?; ¿porque en el caso de los polinomios de una variable de grado mayor que uno sería diferente?; el hecho de que [texx]f[/texx] no esté definida para [texx]x=0[/texx], ¿cuál es el razonamiento que le precede?.
Un saludo.

[robinlambada]

Espera, rebobino

Función compuesta

Sean [texx]f[/texx], con dominio [texx]A[/texx], y [texx]g[/texx] funciones tales que el recorrido de [texx]f[/texx], [texx]f(A)[/texx], se encuentra en el dominio de [texx]g[/texx], [texx]B[/texx].

[texx]\xymatrix{ A\ar[r]^f \ar[dr]_{gof} & f(A)\subset B\ar[d]^g \\ & R }[/texx]

"Definición. Se define la composición de [texx]f[/texx] con [texx]g[/texx], como la función [texx]g\circ{f}[/texx], que toma en los puntos del dominio de [texx]f[/texx] el valor: [texx]g\circ{f}=g(f(x))[/texx]."

Ejercicio

Dadas las funciones

[texx]\begin{array}{rccc}f&:\mathbb{R}-\{0\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{1}{x^2}\end{array}[/texx];

[texx]\begin{array}{rccc}g&:\mathbb{R}-\{-1\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{x}{x+1}\end{array}[/texx]

determinar [texx]f\circ{g}[/texx].

Solución

[texx]f\circ{g}=f(g(x))=f\left(\displaystyle\frac{x}{x+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{x}{x+1}\right)^2}=\displaystyle\frac{(x+1)^2}{x^2}[/texx]

cuyo dominio es [texx]\mathbb{R}-\{-1,0\}[/texx] puesto que [texx]g[/texx] no está definida en -1 y, [texx]g(x)[/texx] se anula únicamente para [texx]x=0[/texx] y [texx]f[/texx] no está definida para [texx]x=0[/texx]. Obsérvese que la expresión obtenida únicamente no está definida en [texx]x=0[/texx], y sin embargo el dominio de la composición es otro."

Mis dudas son:¿[texx]g(-1)\not\subset{B}[/texx]?;
¿[texx]g(0)\not\subset{B}[/texx]?. Estas dos dudas son porque no entiendo bien el signo [texx]\subset{}[/texx];
¿por qué dice la palabra "únicamente"?; ¿porque en el caso de los polinomios de una variable de grado mayor que uno sería diferente?; el hecho de que [texx]f[/texx] no esté definida para [texx]x=0[/texx], ¿cuál es el razonamiento que le precede?.
Un saludo.

Hola, [texx]Dom\;g(x)=\mathbb{R}-\{-1\}[/texx] . -1 no pertenece al dominio de [texx]g(x)[/texx] , por tanto,  [texx]\not\exists g(-1)[/texx]. No tiene sentido preguntarse nada sobre algo que no existe.

 [texx]g(0)=0\in{}Dom\,g(x)[/texx] , por tanto  [texx]g(0)\subset{}B[/texx].

¿por qué dice la palabra "únicamente"?; ¿porque en el caso de los polinomios de una variable de grado mayor que uno sería diferente?; el hecho de que [texx]f[/texx] no esté definida para [texx]x=0[/texx], ¿cuál es el razonamiento que le precede?.

No entiendo muy bien el sentido de tu pregunta.

[texx]f(x)[/texx], no está definida unicamente en [texx]x=0[/texx], por que el cero es el único valor que anula el denominador y en matemáticas esta prohibido dividir entre cero.( no existen radicales que limiten también el dominio, ni otras limitaciones).

Para [texx]h(x)=f[g(x)]=\displaystyle\frac{(x+1)^2}{x^2}[/texx], el denominador solo se anula en cero, por ello esta expresión matemática unicamente no está definida en x=0, pero no se define a través de la expresión matemática, sino que se define como composición de otras dos funciones, es decir la función tiene una "historia" que la condiciona, si el dominio de la función compuesta está  incluido en la imagen de la función g(x)  y g(-1) no existe, es decir no esta  la imágen de -1 ( por -1 no pertenecer a su dominio), entonces tampoco estará x=-1 en el dominio de [texx]h(x)=f[g(x)][/texx]

Saludos.

[Marcos Castillo]

Hola, robinlambada.
Tengo un punto de vista diferente: [texx]g(0)\not\subset{B}[/texx]. Entiendo por [texx]B[/texx] el dominio de [texx]f[/texx] en el ejercicio que planteo. [texx]g[/texx] está definida para [texx]g(0)[/texx], pero [texx]f[/texx] no está definida para [texx]x=0[/texx]. Por tanto, el recorrido de de [texx]g[/texx] no se encuentra en el dominio de [texx]f[/texx] para [texx]x=0[/texx]. Es decir, [texx]g(0)\not\subset{B}[/texx].
Pero tú dices lo contrario, y eso me hace dudar. Dices [texx]g(0)=0\in{Dom\;g(x)}\Rightarrow{g(0)\subset{B}}[/texx]. En ese caso, ¿qué relación existe entre [texx]A(dominio\; de\; g)[/texx] y [texx]B(dominio\; de\; f)[/texx]?.
Un saludo.

[Marcos Castillo]

¡Todo lo demás entendido!

[robinlambada]

Creo que lo que ocurre, es que estamos llamando cosas distintas al conjunto B.

:

Función compuesta

Sean [texx]f[/texx], con dominio [texx]A[/texx], y [texx]g[/texx] funciones tales que el recorrido de [texx]f[/texx], [texx]f(A)[/texx], se encuentra en el dominio de [texx]g[/texx], [texx]B[/texx].

[texx]\xymatrix{ A\ar[r]^f \ar[dr]_{gof} & f(A)\subset B\ar[d]^g \\ & R }[/texx]

Primero dices que [texx]B[/texx] es el dominio de [texx] g(x)[/texx] y del esquema [texx]f(A)\subset{}B[/texx] y  en tu ultimo mensaje que [texx]B[/texx] es el dominio de [texx]f(x)[/texx], pero en un principio dices que es A y los dominios de [texx]f(x)[/texx] y [texx]g(x)[/texx] son distintos.

Entiendo por [texx]B[/texx] el dominio de [texx]f[/texx] en el ejercicio que planteo. ...

.

Yo he llamado B al conjunto que has definido. Es decir al dominio de [texx]g(x) [/texx]

Pero si es cierto que [texx]g(0)\not\in{}Dom\; f(x)[/texx]

Saludos.

[Marcos Castillo]

Hola, robinlambada
Es que en la parte teórica de mis mensajes (lo cojo del libro) se ilustra [texx]g\circ{f}[/texx], para posteriormente en el ejercicio plantear dos funciones a las que llama [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx], y pedir [texx]f\circ{g}[/texx].
¿Puedo decir [texx]g(0)\not\in{Dom\;f}\Rightarrow{g(0)\not\subset{B}}[/texx]?
Un saludo.

[robinlambada]

Hola, robinlambada
Es que en la parte teórica de mis mensajes (lo cojo del libro) se ilustra [texx]g\circ{f}[/texx], para posteriormente en el ejercicio plantear dos funciones a las que llama [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx], y pedir [texx]f\circ{g}[/texx].
¿Puedo decir [texx]g(0)\not\in{Dom\;f}\Rightarrow{g(0)\not\subset{B}}[/texx]?
Un saludo.

Depende de como definas B, de momento como has definido B como el dominio de [texx]g(x)[/texx], por tanto:

[texx]B=\mathbb{R}-\{-1\}[/texx], por tanto [texx]g(0)=0\in{}B[/texx]

P.D.: Un pequeño detalle de escritura: lo símbolos [texx]\subset{}\;\not\subset{}\ldots[/texx] se usan para comparar conjuntos.

En tu caso, cuando hablamos solo de puntos concretos es más usual decir que pertenece al conjunto, más que decir que está incluido en el conjunto, se suele dejar esto último para comparar conjuntos. (Aunque esto no tiene demasiada importancia)

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias, robinlambada!. El símbolo de pertenencia se usa para denotar elementos de un conjunto, mientras el símbolo inclusión se emplea para comparar conjuntos.
Ha sido un placer tener tu atención.
Un saludo

[robinlambada]

¡Muchas gracias, robinlambada!. El símbolo de pertenencia se usa para denotar elementos de un conjunto, mientras el símbolo inclusión se emplea para comparar conjuntos.
Ha sido un placer tener tu atención.
Un saludo

El placer es mutuo, eres un buen forero, contigo da gusto compartir.

Saludos.