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Autor Tema: Diferenciabilidad de una función por tramos  (Leído 138 veces)
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alucard
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« : 07/08/2019, 10:22:19 pm »

Hola tengo el siguiente enunciado

Analice la diferenciabilidad de la siguiente función

[texx]f(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}& x\cdot y\neq{0}\\1& \text{si}& x\cdot y=0\end{cases}[/texx]

en los puntos  A(0,0) y B(1,1) aplicando la definición de diferenciabilidad

Sé que para aplicar la definición la función debe ser continua y derivable, pero en este caso me dan una función constante  , si lo analizo en forma geométrica , tengo el plano z=1 y z=0  en el cual hay un salto finito , según yo, la función no es continua , pero me parece que hay alguna "trampa" en el medio  :\
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 07/08/2019, 11:45:21 pm »

Hola

Es discontinua en el origen porque

[texx]\displaystyle\lim_{x \to 0,\; y=0}{f(x,y)}=1=\lim_{y \to 0,\; x=0}{f(x,y)}[/texx]

Pero si y=x

[texx]\lim_{x \to 0}{f(x,y)}=0[/texx]

No lo hice por definición


También es discuntinua en los puntos de los ejes coordenados.



Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
delmar
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« Respuesta #2 : 08/08/2019, 12:26:22 am »

Hola

Una forma utilizando la definición :

[texx]\exists{B(A,r)}[/texx] donde :

[texx]f(A+v)-f(A)=\nabla f(A)\cdot{v}+ \left\|{v}\right\| \ E(A,v), \ \ si \  \left\|{v}\right\|<r[/texx] Ec. 1

Esto ocurre por que f esta definida en [texx]R^2[/texx] y por que [texx]\exists{\nabla f(A)}[/texx], esto último hay que demostrarlo. Se demuestra por definición :

[texx]D_1f(A)=f'(A,\vec{e_1})=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(A+h\vec{e_1})-f(A)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}[/texx]

Pero [texx]f(0,0)=1, \ \ f(h,0)=1\Rightarrow{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0}[/texx]

Por lo tanto : [texx]D_1f(A)=0[/texx] en forma semejante [texx]D_2f(A)=0[/texx], entonces existe el gradiente [texx]\nabla f(A)=(0,0)[/texx] en consecuencia [texx]\exists{B(A,r)}[/texx] donde se da la Ec. 1

Para que sea diferenciable se ha de cumplir [texx]\displaystyle\lim_{v \to{}\vec{O}}{E(A,v)}=0[/texx]

Averiguando :

[texx]E(A,v)=\displaystyle\frac{f(A,v)-f(A)-\nabla f(A)\cdot{v}}{ \left\|{v}\right\|}, \ \ si \ 0< \left\|{v}\right\|<r[/texx]

Entonces :

[texx]E(A,v)=\displaystyle\frac{f(v)-1}{ \left\|{v}\right\|}[/texx]

En caso exista el límite ha de ser el mismo para cualquier curva que pase por A=(0,0), considera la curva (t,t) cuando t tiende a cero, E tiende a   [texx]-\infty\neq{0}[/texx].

Por lo tanto no es diferenciable.

¿Con este conocimiento a ver si lo intentas para B?

Saludos
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alucard
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« Respuesta #3 : 08/08/2019, 12:37:29 am »

Hola

Hola

Una forma utilizando la definición :

[texx]\exists{B(A,r)}[/texx] donde :

[texx]f(A+v)-f(A)=\nabla f(A)\cdot{v}+ \left\|{v}\right\| \ E(A,v), \ \ si \  \left\|{v}\right\|<r[/texx] Ec. 1

Esto ocurre por que f esta definida en [texx]R^2[/texx] y por que [texx]\exists{\nabla f(A)}[/texx], esto último hay que demostrarlo. Se demuestra por definición :

[texx]D_1f(A)=f'(A,\vec{e_1})=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(A+h\vec{e_1})-f(A)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}[/texx]

Pero [texx]f(0,0)=1, \ \ f(h,0)=1\Rightarrow{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0}[/texx]

Por lo tanto : [texx]D_1f(A)=0[/texx] en forma semejante [texx]D_2f(A)=0[/texx], entonces existe el gradiente [texx]\nabla f(A)=(0,0)[/texx] en consecuencia [texx]\exists{B(A,r)}[/texx] donde se da la Ec. 1

Para que sea diferenciable se ha de cumplir [texx]\displaystyle\lim_{v \to{}\vec{O}}{E(A,v)}=0[/texx]

Averiguando :

[texx]E(A,v)=\displaystyle\frac{f(A,v)-f(A)-\nabla f(A)\cdot{v}}{ \left\|{v}\right\|}, \ \ si \ 0< \left\|{v}\right\|<r[/texx]

Entonces :

[texx]E(A,v)=\displaystyle\frac{f(v)-1}{ \left\|{v}\right\|}[/texx]

En caso exista el límite ha de ser el mismo para cualquier curva que pase por A=(0,0), considera la curva (t,t) cuando t tiende a cero, E tiende a   [texx]-\infty\neq{0}[/texx].

Por lo tanto no es diferenciable.

¿Con este conocimiento a ver si lo intentas para B?

Saludos

Para utilizar la definición de diferenciabilidad , primero no hay que probar que f sea continua?  tenia entendido que si f no es continua entonces no puedo aplicar la definición , no me queda claro porque valor reemplazaste  [texx]f(A)[/texx]
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« Respuesta #4 : 08/08/2019, 01:02:51 am »

No es necesario saber si una función es continua, para averiguar si es diferenciable mediante la definición y precisamente esto es lo que te piden.

Un campo escalar como f es diferenciable en A si existe una bola en torno de A, de radio r, [texx]B(A,r)[/texx] tal que f esta definida y se cumple :

[texx]f(A+v)+f(A)=\nabla f(A)\cdot{v}+ \left\|{v}\right\| \ E(A,v), \ \ si \  \left\|{v}\right\|<r[/texx] Ec. 1

y

[texx]\displaystyle\lim_{v \to{}\vec{O}}{E(A,v)}=0[/texx] Ec. 2

En este caso f esta definida en [texx]R^2[/texx] es decir en bolas de todo radio, el gradiente existe como ya se demostró, entonces existe E(A,v). Lo único que hay que demostrar es la Ec. 2 y esa no se cumple.

f(A)=f(0,0)=1

Saludos
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« Respuesta #5 : 08/08/2019, 07:50:28 am »

Entiendo, tenía el concepto equivocado entonces , la continuidad es una condición necesaria para que la función sea diferenciable, pero cuando se aplica la definición de diferenciabilidad no depende de ella , alcanza con que f este definida en el punto. Lo que si interesa es la existencia de las derivadas parciales en el Punto , correcto?
Entonces , si la continuidad no es necesaria para aplicar la definición de diferenciabilidad, porque figura como condición necesaria? Puede darse el caso que una función sea discontinua y diferenciable?
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« Respuesta #6 : 09/08/2019, 12:16:43 am »

En la definición de límite, de f(x) en un punto "a", no hace falta el valor de la función en dicho punto, f(a), lo que no obsta para que le demos dicho valor, para prevenir discontinuidades evitables.

La simple derivada, como límite, no precisaría que la función estuviera definida allí, que, con un valor adecuado "A" podría ir tirando. Lo que ocurre es que la derivada nos dice que existiría el límite de la función en dicho punto y sería el mismo "A", lo que nos llevaría de nuevo a prevenir las discontinuidades evitables, dando a f(a) el valor "A", y así consta.

Supongo que, en los confines del radio de convergencia, habrá que definirlas a pedales, de aquí, tal vez el supuesto de que se han cumplido estos pasos, que no tengo experiencia. 
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« Respuesta #7 : 09/08/2019, 01:05:51 am »

Entiendo, tenía el concepto equivocado entonces , la continuidad es una condición necesaria para que la función sea diferenciable, pero cuando se aplica la definición de diferenciabilidad no depende de ella , alcanza con que f este definida en el punto. Lo que si interesa es la existencia de las derivadas parciales en el Punto , correcto?
Entonces , si la continuidad no es necesaria para aplicar la definición de diferenciabilidad, porque figura como condición necesaria? Puede darse el caso que una función sea discontinua y diferenciable?


La definición de diferenciabilidad en un punto, no habla de continuidad ¿En alguna parte del enunciado se habla de continuidad ? NO. Se habla que la función ha de estar definida en el punto y en una bola en torno al punto, se habla que ha de existir las derivadas parciales, es decir el gradiente en el punto y que la función error [texx]E(A,v)[/texx] tienda a cero cuando [texx]v\rightarrow{\vec{O}}[/texx], esta parte es la más importante.

Ahora ¿por qué la continuidad es una condición necesaria para la diferenciabilidad? La respuesta es un teorema que dice que toda función diferenciable en un punto, es continua en el punto. Con esto ya puedes responder a la interrogante en azul.

Saludos
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« Respuesta #8 : 12/08/2019, 07:02:36 am »

Notas

Lo que he dicho anteriormente sigue en vigor, "pese" a que Delmar tiene razón.

Remarco que: una función puede NO ser diferenciable (o NO tener derivada) por una mera cuestión de la definición de la función en dicho punto.

En este caso, si queremos que la función SI sea diferenciable (o SI tenga derivada), es un asunto supuéstamente Evitable.

Si la diferencial (o la derivada) tienen características únicas, que las tienen, el valor de la función en el punto también, así que podemos intentar buscar el que si se acomoda, si solo es esto lo que falla.
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