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Autor Tema: Problema orientado a interesección de figuras volumétricas (esferas)  (Leído 530 veces)
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« : 02/08/2019, 12:31:48 am »

Muy buenas comunidad matemática, ya el próximo año entro a la universidad y he estado resolviendo la guía de ingreso; sin embargo, encontré cierto problema relacionado con la intersección de figuras, el cual me dejó pensando mucho.


El problema vendria siendo....

Dos esferas idénticas, de radio 6, se intersectan  de  manera  que  la  distancia entre sus centros es 10. Los puntos de intersección de las dos  esferas forman un círculo. ¿Cuál es el área de este círculo?


me gustaría más que todo que me explicaran el cómo resolverlo y si me recomendaran algún tema por tratar o pdf se los agradeceria bastante.
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« Respuesta #1 : 02/08/2019, 03:53:24 am »

Muy buenas comunidad matematica, ya el proximo año entro a la universidad y he estado resolviendo la guía de ingreso; sin embargo, encontre cierto problema relacionado con la intersección de figuras, el cual me dejo pensando mucho.


El problema vendria siendo....

Dos esferas idénticas, de radio 6, se intersectan  de  manera  que  la  distancia entre sus centros es 10. Los puntos de intersección de las dos  esfereas forman un círculo. ¿Cuál es el área de este círculo?


me gustaria mas que todo que me explicaran el como resolverlo y si me recomendaran algun tema por tratar o pdf se los agradeceria bastante.

Parece ser que ese problema forma parte de una rama de teoría de la medida llamada teoría de la medida geométrica. Yo no sé nada de eso pero desde aquí y el enlace anterior seguramente se pueda empezar a buscar más información sobre el tema, ya que hay algunas referencias en esos enlaces.

Siento no poder serte de más ayuda.



ACTUALIZACIÓN: en este caso, como la figura es sencilla, no hace falta recurrir a cosas tan complicadas como la teoría de la medida geométrica. Tu figura es una superficie de revolución, en concreto es la revolución de un arco de una esfera, entonces puedes utilizar esto para hallar el área.
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martiniano
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« Respuesta #2 : 02/08/2019, 08:56:16 am »

Hola.

Yo creo que basta con hallar la altura de un triángulo isósceles de lado desigual [texx]10[/texx] y lados iguales [texx]6[/texx]. Dicha altura será el radio del círculo cuya área nos piden calcular:


Un saludo.

* Esferasycirculo.ggb (14.99 KB - descargado 72 veces.)
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« Respuesta #3 : 13/08/2019, 02:12:23 pm »

Quería añadir la intuición para el cálculo del área de una superficie de revolución, que esencialmente es la misma idea que hay tras el cálculo de la longitud de una curva, o la del área bajo una curva, o la del área encerrada por una curva cerrada plana: la idea de tomar el límite de una sucesión de aproximaciones a dichos valores.

Tengamos la gráfica de una función [texx]f[/texx], que revolucionamos sobre el eje de abscisas generando así una superficie. Entonces podemos ir aproximando la gráfica de [texx]f[/texx] usando una función polígonal a partir de un número arbitrario de puntos del dominio de [texx]f[/texx]. En el siguiente gráfico se muestra un ejemplo de lo anterior, donde hemos tomado puntos equidistantes en el dominio de [texx]f[/texx]:




Llamo cinta a la superficie de revolución generada por un segmento de recta. En el gráfico anterior se puede ver en rojo, pulsando la casilla que pone "Superficie de cinta", una cinta generada por un segmento de la aproximación poligonal. En verdad se muestra el cono completo, y moviendo el deslizador llamado "Despliegue del cono" vemos cómo el cono se abre hasta quedar totalmente plano, lo que nos da una idea de cómo calcular el valor del área de la cinta a partir de la fórmula del área de un disco.

Usando este tipo de aproximación tendríamos que el área aproximada será la suma de las áreas de las cintas. Sean dos puntos [texx](x, f(x))[/texx] y [texx](x+h,f(x+h))[/texx], entonces de lo anterior es fácil deducir que el área de la cinta generada por esos dos puntos es la diferencia del área de dos conos (sin contar el área de la base del cono). Con un poco de álgebra llegamos a la conclusión de que, dados dos puntos como los de antes, el área del cono asociado a uno de los puntos viene dado por [texx]A_x=\pi f(x)^2\sqrt{1+\left(\frac{h}{f(x+h)-f(x)}\right)^2}[/texx], y la variación de área, es decir el área de la cinta, es

[texx]\displaystyle \Delta_h A_x:=|A_{x+h}-A_x|=\pi |f(x+h)+f(x)|\sqrt{\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)^2+1} \,|h|[/texx]

para [texx]h[/texx] suficientemente pequeño (es decir, cuando [texx]f(x+h)[/texx] y [texx]f(x)[/texx] tienen el mismo signo), y cuando [texx]h\to 0[/texx] nos deja el diferencial (¿o más bien debería decir medida?) de área no orientada dada por [texx]d A_x=2\pi |f(x)|\sqrt{(f'(x))^2+1} |dx|[/texx], que nos lleva finalmente a una expresión casi idéntica a la hallada en el anterior enlace que he dejado de la wikipedia, para el área de revolución generada por la función [texx]f:[a,b]\to\Bbb R[/texx]

[texx]\displaystyle A(f)=2\pi \int_{[a,b]} |f(x)|\sqrt{(f'(x))^2+1}\, \lambda_1(dx)[/texx]

A diferencia de la fórmula de la wikipedia he considerado el área como algo únicamente positivo, no orientado, de ahí que lo haya expresado como una integral de Lebesgue de términos positivos en vez de usar la formulación tradicional.

EDICIÓN: he cambiado la expresión del diferencial y de la integral, para que sea acorde a la noción de área como una medida no-negativa.
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« Respuesta #4 : 13/08/2019, 06:01:22 pm »

Hola:
Quería añadir la intuición para el cálculo del área de una superficie de revolución, que esencialmente es la misma idea que hay tras el cálculo de la longitud de una curva, o la del área bajo una curva, o la del área encerrada por una curva cerrada plana: la idea de tomar el límite de una sucesión de aproximaciones a dichos valores.

Tengamos la gráfica de una función [texx]f[/texx], que revolucionamos sobre el eje de abscisas generando así una superficie. Entonces podemos ir aproximando la gráfica de [texx]f[/texx] usando una función polígonal a partir de un número arbitrario de puntos del dominio de [texx]f[/texx]. En el siguiente gráfico se muestra un ejemplo de lo anterior, donde hemos tomado puntos equidistantes en el dominio de [texx]f[/texx]:


Llamo cinta a la superficie de revolución generada por un segmento de recta. En el gráfico anterior se puede ver en rojo, pulsando la casilla que pone "Superficie de cinta", una cinta generada por un segmento de la aproximación poligonal. En verdad se muestra el cono completo, y moviendo el deslizador llamado "Despliegue del cono" vemos cómo el cono se abre hasta quedar totalmente plano, lo que nos da una idea de cómo calcular el valor del área de la cinta a partir de la fórmula del área de un disco.

Usando este tipo de aproximación tendríamos que el área aproximada será la suma de las áreas de las cintas. Sean dos puntos [texx](x, f(x))[/texx] y [texx](x+h,f(x+h))[/texx], entonces de lo anterior es fácil deducir que el área de la cinta generada por esos dos puntos es la diferencia del área de dos conos (sin contar el área de la base del cono). Con un poco de álgebra llegamos a la conclusión de que, dados dos puntos como los de antes, el área del cono asociado a uno de los puntos viene dado por [texx]A_x=\pi f(x)^2\sqrt{1+\left(\frac{h}{f(x+h)-f(x)}\right)^2}[/texx], y la variación de área, es decir el área de la cinta, es

[texx]\displaystyle \Delta_h A_x:=A_{x+h}-A_x=\pi (f(x+h)+f(x))\sqrt{\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)^2+1} h[/texx]

y cuando [texx]h\to 0[/texx] nos deja el diferencial de área dado por [texx]d A_x=2\pi f(x)\sqrt{(f'(x))^2+1} dx[/texx], que nos lleva finalmente a la conocida expresión para el área de revolución generada por la función [texx]f:[a,b]\to\Bbb R[/texx]

[texx]\displaystyle A(f)=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{(f'(x))^2+1} dx[/texx]

Pienso que has interpretado mal el problema.

La solución de martiniano es la correcta, ya que piden el área de un círculo.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 13/08/2019, 10:26:56 pm »

Pienso que has interpretado mal el problema.

La solución de martiniano es la correcta, ya que piden el área de un círculo.

Saludos.

Es posible, la redacción del ejercicio no es clara. Se puede interpretar así, como el área contenida en el disco asociada al círculo que forman los puntos de intersección. Yo lo he interpretado como el área de la superficie de la figura en forma de lente biconvexa que resulta de la intersección, donde cada cara es como un disco deformado.
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« Respuesta #6 : 14/08/2019, 02:52:44 pm »

La redacción del ejercicio es impecable, piden el área del circulo intersección de ambas superficies esféricas y no es necesario recurrir a ningún proceso de integración, basta con un poco de trigonometría para determinar el radio de dicho círculo que es la altura del triángulo isósceles cuyos lados son 6,6,10.

Salu2
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