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Autor Tema: Teorema de diferenciación de Lebesgue  (Leído 161 veces)
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pedro diaz
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« : 16/07/2019, 02:45:36 pm »

Buenas tardes.
Estoy estudiando la demostración del teorema de diferenciación de Lebesgue.
Si f es integrable en [texx]\mathbb{R}{^d}[/texx] entonces:
[texx]f(x)=\displaystyle\lim_{m(B) \rightarrow{0}}{1/m(B)\displaystyle\int_{B}f(y)dm(y)} [/texx] para [texx]c.t.p[/texx] x
Con [texx]x\in{B}[/texx]

En la prueba se usa que si f es continua en [texx]\mathbb{R}{^d}[/texx] entonces:
[texx]f(x)=\displaystyle\lim_{m(B)\rightarrow{0}}{1/m(B)\displaystyle\int_{B}f(y)dm(y)} \forall{x}[/texx]
Con [texx]x \in{B}[/texx]

Y para probar que esto es así se considera que una función continua es constante a pequeña escala.

Mi pregunta es, cómo pruebo precisamente que toda función continua es constante a pequeña escala.

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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 18/07/2019, 04:46:16 am »

Hola

Buenas tardes.
Estoy estudiando la demostración del teorema de diferenciación de Lebesgue.
Si f es integrable en [texx]\mathbb{R}{^d}[/texx] entonces:
[texx]f(x)=\displaystyle\lim_{m(B) \rightarrow{0}}{1/m(B)\displaystyle\int_{B}f(y)dm(y)} [/texx] para [texx]c.t.p[/texx] x
Con [texx]x\in{B}[/texx]

En la prueba se usa que si f es continua en [texx]\mathbb{R}{^d}[/texx] entonces:
[texx]f(x)=\displaystyle\lim_{m(B)\rightarrow{0}}{1/m(B)\displaystyle\int_{B}f(y)dm(y)} \forall{x}[/texx]
Con [texx]x \in{B}[/texx]

Y para probar que esto es así se considera que una función continua es constante a pequeña escala.

Mi pregunta es, cómo pruebo precisamente que toda función continua es constante a pequeña escala.

No tengo muy claro de cual es el significado preciso del límite.

Considera por ejemplo la función [texx]f(x,y)=x^2[/texx] y [texx]B_n=[-n,n]\times [0,1/n^2][/texx].

Se tiene que [texx]m(B_n)=\dfrac{2n}{n^2}=\dfrac{2}{n}[/texx].

Por otra parte:

[texx]I_n=\dfrac{1}{m(B_n)}\displaystyle\int_{B}x^2=\dfrac{1}{m(B_n)}\cdot \dfrac{1}{n^2}\cdot \displaystyle\int_{-n}^{n}x^2dx=\dfrac{n}{2}\cdot \dfrac{1}{n^2}\cdot \dfrac{2n^3}{3}=\dfrac{n^2}{3}[/texx]

Entonces cuando [texx]n\to \infty[/texx] se tiene que [texx]m(B_n)\to 0[/texx] pero sin embargo [texx]I_n\to +\infty[/texx]. Luego parece que algo falla...

Cosa distinta sería considerar el límite cuando el diámetro de [texx]B[/texx] tienda a cero.

Saludos.
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