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Autor Tema: Racionales  (Leído 418 veces)
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R_Gauss
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« : 16/07/2019, 13:54:38 »

Hola. Pasaba por aquí para saber si podrían darme una mano con estos ejercicios sobre convergencia y Cauchy. Dice así:

1. Sean [texx] \{r_n\}[/texx] y[texx] \{s_n\}[/texx] sucesiones de números racionales que convergen a r y s respectivamente. Suponga que existe un [texx]N\in{\mathbb{N}}[/texx] con [texx]r_n\leq{s_n} [/texx] para todo [texx]n\geq{N}[/texx].  Demuestre que [texx]r\leq{s}[/texx]

2. Dados dos números racionales p y q. Cómo demuestro que el [texx]max\{ p,q\}=1/2(p+q+|p-q|)[/texx]

Agradezco sus colaboraciones,

Saludos.
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delmar
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« Respuesta #1 : 16/07/2019, 15:27:03 »

Hola

1. Por reducción al absurdo. Se supone que s<r, en esas circunstancias [texx]\exists{\epsilon_r} \ / \ 0<\epsilon_r<r-s\Rightarrow{s<r-\epsilon_r}[/texx] Inec. 1, en esas condiciones [texx]\exists{\epsilon_s} \ / \ 0<\epsilon_s<r-\epsilon_r-s\Rightarrow{s+\epsilon_s<r-\epsilon_r}[/texx] Inec. 2

La definición de límite implica :

[texx]\exists{N'\in{Z^+}} \ / \ r_n\in{N(r,\epsilon_r)} \ \ si \ \ n\geq{N'}[/texx]

[texx]\exists{N''\in{Z^+}} \ / \ s_n\in{N(s,\epsilon_s)} \ \ si \ \ n\geq{N''}[/texx]

Donde [texx]N(r,\epsilon_r), \ N(s,\epsilon_s)[/texx] son entornos de r y de s de radios [texx]\epsilon_r[/texx] y [texx]\epsilon_s[/texx] respectivamente.


Denominando M el [texx]max\left\{{N,N',N''}\right\}[/texx] se tiene :

Si [texx]n\geq{M}[/texx] entonces [texx]r_n\in{N(r,\epsilon_r)}[/texx] y [texx]s_n\in{N(s,\epsilon_s)}[/texx] en consecuencia se cumple la inecuación 2, es decir :

[texx]s_n<s+\epsilon_s<r-\epsilon_r<r_n\Rightarrow{s_n<r_n}[/texx] lo cual es un absurdo por que por hipótesis [texx]r_n\leq{s_n}[/texx]

Para el segundo problema considera que [texx]p\geq{q}[/texx] esto implica [texx]p-q\geq{0}[/texx]

Saludos
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R_Gauss
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« Respuesta #2 : 17/07/2019, 11:49:48 »

Hola delmar,

te agradezco la colaboración,


saludos,
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