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Autor Tema: Resolubilidad por radicales 2  (Leído 187 veces)
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Julio_fmat
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« : 19/07/2019, 00:12:59 am »

Sea [texx]f(x)=x^3+px+q\in \mathbb{Q}\left[x\right].[/texx] Sea [texx]K\subseteq \mathbb{C}[/texx] campo de descomposicion de [texx]f[/texx] y sean [texx]\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3[/texx] las raices de [texx]f[/texx] en [texx]K[/texx]. Supongamos que [texx]\alpha_1\in \mathbb{R}[/texx] y [texx]\alpha_3=\overline{\alpha_2}[/texx] tal que [texx]\alpha_3,\overline{\alpha_2}\in \mathbb{C}.[/texx]

c) Sean [texx]u=\alpha_1+\varepsilon \alpha_2+\varepsilon^2 \alpha_3[/texx] y [texx]v=\alpha_1+\varepsilon^2\alpha_2+\varepsilon \alpha_3[/texx] donde [texx]\varepsilon[/texx] es raiz primitiva cubica. Mostrar que [texx]u^3,v^3\in L[/texx] y que [texx]K=L(u)=L(v).[/texx]

d) Ocupando las siguientes identidades:

[texx]u^3=\dfrac{1}{2}(-27q-3i\sqrt{3}d)[/texx]

[texx]v^3=\dfrac{1}{2}(-27q+3i\sqrt{3}d)[/texx]

Encontrar una formula para [texx]\alpha_1[/texx] en terminos de [texx]p[/texx] y [texx]q.[/texx]

Hola, para la d) me queda lo siguiente:

[texx]\alpha_1=\dfrac{1}{2}[(u+v)-(\alpha_2+\alpha_3)(\varepsilon+\varepsilon^2)][/texx].
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