Grupo de Galois 2

[Julio_fmat]

Sea [texx]K/k[/texx] una extension de campos y sea [texx]f(x)\in k \left[x\right][/texx] un polinomio que tiene una raíz [texx]u\in K.[/texx] Probar que para cada [texx]\sigma \in \text{Gal}(K/k)[/texx] el elemento [texx]\sigma(u)[/texx] es una raíz de [texx]f(x).[/texx]

Hola, hice lo siguiente: Si [texx]\sigma \in \text{Gal}(K/k)[/texx], entonces [texx]\sigma(u)=u[/texx] para cada [texx]u\in K[/texx]. Pero [texx]u[/texx] es raíz de [texx]f(x)[/texx], entonces [texx]f(u)=0.[/texx] Luego, [texx]f(\sigma(u))=f(u)=0[/texx], lo que implica que [texx]\sigma(u)[/texx] es raiz de [texx]f(x).[/texx] ¿Esta bien?

[geómetracat]

No, está mal. Si [texx]\sigma \in Gal(K/k)[/texx] lo que tienes es que [texx]\sigma(u) = u[/texx] para todo [texx]u \in k[/texx], y no para todo [texx]u \in K[/texx].

Vuelve a intentarlo, teniendo en cuenta que [texx]f(x)[/texx] es un polinomio con coeficientes en [texx]k[/texx] y que todo [texx]\sigma \in Gal(K/k)[/texx] fija todos los elementos de [texx]k[/texx], en particular los coeficientes de [texx]f(x)[/texx].