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Autor Tema: Función convexa medible  (Leído 104 veces)
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elimogo
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« : 13/07/2019, 03:47:22 pm »

Sea [texx](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/texx] un espacio medible, y
i)  [texx]g:\Omega\rightarrow{I}[/texx] una función tal que [texx]g\in{L^\infty (\mu)}[/texx].
ii) [texx]\varphi:I\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] una función convexa.

Demuestre que [texx]\varphi[/texx] es medible.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 18/07/2019, 05:42:38 am »

Hola

Sea [texx](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/texx] un espacio medible, y
i)  [texx]g:\Omega\rightarrow{I}[/texx] una función tal que [texx]g\in{L^\infty (\mu)}[/texx].
ii) [texx]\varphi:I\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] una función convexa.

Demuestre que [texx]\varphi[/texx] es medible.

No estoy seguro de si hay alguna errata en tu pregunta, porque la función [texx]g[/texx] no parece intervenir en nada.

Una función convexa es medible, porque [texx]f^{-1}((-\infty,a))[/texx], por convexidad, es vacío o un intervalo.

Fíjate que si [texx]x,y\in f^{-1}((-\infty,a))[/texx] entonces [texx]f(x),f(y)<a[/texx]. Pero entonces para cualquier punto intermedio [texx]z=tx+(1-t)y[/texx] se tiene que:

[texx]f(z)=f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)<ta+(1-t)a=a\quad \Rightarrow{}\quad z\in f^{-1}((-\infty,a))[/texx]

Saludos.
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elimogo
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« Respuesta #2 : 20/07/2019, 06:20:42 pm »

Si, disculpe, es asi, la función [texx]g(x)\in{I}
[/texx]. Si puede responder esta pregunta, Si ella es convexa es continua en el interior de [texx]I[/texx], y alli ella es medible por ser continua, tambien es localmente acotada. Pero, en los extremos puede no ser continua pero tales extremos tienen medida cero. Puedo concluir que ella es esencialmente acotada? gracias de antemano. 
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 22/07/2019, 04:58:48 am »

Hola

Si, disculpe, es asi, la función [texx]g(x)\in{I}
[/texx]. Si puede responder esta pregunta, Si ella es convexa es continua en el interior de [texx]I[/texx], y alli ella es medible por ser continua, tambien es localmente acotada. Pero, en los extremos puede no ser continua pero tales extremos tienen medida cero. Puedo concluir que ella es esencialmente acotada? gracias de antemano. 

Por favor, intenta concentrarte en plantear bien la pregunta. No le veo sentido tal como está.

Se supone que [texx]g[/texx] es una función de [texx]\Omega[/texx] (espacio medible) en [texx]I[/texx]. No tiene sentido hablar de su convexidad porque a prioiri [texx]\omega[/texx] no tiene porque ser un espacio vectorial.

Entonces intenta escribir de la manera más precisa posible las hipótesis en que te mueves y la pregunta exacta que quieres hacer.

Como comentario general, lo que ocurre en un conjunto de medida cero no influye en el hecho de ser esencialmente acotado.

Saludos.
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