Hola
Hola buenos días, me podrían ayudar con este ejercicio. Gracias
Sean [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] conjuntos finitos. Muestre que si [texx]\left |{A}\right |\leq{\left |{B}\right |}[/texx] entonces existe [texx]f:A\longrightarrow{B}[/texx] inyectiva y [texx]g:B\longrightarrow{A}[/texx] sobreyectiva.
Nose si estoy bien pero tengo por hipótesis dos funciones que van de [texx]\left\{{1,2,......,n}\right\}\longrightarrow{A}[/texx] y
[texx]\left\{{1,2,......,n}\right\}\longrightarrow{B}[/texx] biyectivas y tambien una funcion que va de [texx]A\longrightarrow{B}[/texx] inyectiva. Entonces tengo que hallar una función de [texx]B\longrightarrow{A}[/texx] sobreyectiva?
?
Todo depende de que definiciones estás manejando.
Que un conjunto sea finito, por lo que pones, parece que lo defines como que existe una biyección con un conjunto de naturales [texx]\{1,2,3,\ldots,n\}[/texx].
Que [texx]|A|\leq |B|[/texx] por definición significa que existe una aplicación inyectiva:
[texx]f:A\to B[/texx]
(aunque tal como está redactado el enunciado pareciera que te pidan que justifiques la existencia de tal aplicación: pero en principio es por definición).
Para construir [texx]g:B\to A[/texx] sobreyectiva sea [texx]a_0\in A[/texx].
Define:
- Si [texx]b\in Im(g)[/texx], [texx]g(b)=a[/texx] donde [texx]a[/texx] es el único elemento de [texx]A[/texx] tal que [texx]f(a)=b[/texx]. Su existencia y unicidad está garantizado por la inyectividad de [texx]f[/texx].
- Si [texx]b\not\in Im(g)[/texx], [texx]g(b)=a_0[/texx].
Saludos.
