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Autor Tema: ¿[texx]\mathbb{R}\subset \mathbb{C}[/texx]?  (Leído 259 veces)
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Miguel.hs
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« : 16/07/2019, 03:22:21 am »

Buenas noches tengo dos dudas existenciales:
[texx]1. [/texx] Sean los siguientes conjuntos
[texx]\qquad a) \;\,\mathbb{M}=\displaystyle\{a+bi : a, b\in \mathbb{R}\wedge i^2=-1\}[/texx]
[texx]\qquad b) \;\,\mathbb{N}=\displaystyle\{(a;b): a, b\in \mathbb{R}\}[/texx] y dotado de las siguientes operaciones binarias
[texx]\qquad\qquad \;\, (a;b)\oplus (c;d):=(a+c;b+d) \wedge (a;b)\otimes (c;d):=(ac-bd;ad+bc).[/texx]
[texx]\qquad[/texx] Si bien estos dos conjuntos son isomorfos o biyectivos, ¿cuál de los dos es el conjunto de los números complejos?
[texx]2. [/texx] ¿Realmente [texx]\mathbb{R}\subset \mathbb{C}[/texx] y bastaría la siguiente prueba?
     Sea [texx]x\in\mathbb{R} [/texx], entonces [texx]x=x+0i\in \mathbb{C}[/texx]  :BangHead:

Espero sus comentarios. Gracias
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 16/07/2019, 06:21:14 am »

Al margen de que la primera opción no está muy bien definida (¿qué es [texx]i[/texx], en términos conjuntistas?) la respuesta a tu pregunta es que da igual cómo lo definas. A efectos prácticos, cualquier definición que de un cuerpo isomorfo a los complejos (definidos de tu manera favorita) es igual de bueno.

Esto pasa continuamente a todos los niveles, también hay varias construcciones de [texx]\Bbb R[/texx] (cortaduras de Dedekind, clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy,...). Pero da igual cómo los definas, pues son únicos salvo isomorfismo y siempre puedes usar el isomorfismo para traducir resultados obtenidos a partir de una definición a las otras.

Sobre la contención [texx]\Bbb R \subset \Bbb C[/texx], se debe entender como que existe un subcuerpo de [texx]\Bbb C[/texx] que es isomorfo a [texx]\Bbb R[/texx] (y que por lo dicho antes, es tan bueno como cualquier otra definición de los reales).

De nuevo, esto pasa a todos los niveles. Con las construcciones conjuntistas usuales, no es cierto que [texx]\Bbb N \subset \Bbb Z[/texx], por ejemplo, pues [texx]\Bbb N[/texx] es el conjunto de los ordinales finitos mientras que los elementos de [texx]\Bbb Z[/texx] son clases de equivalencia de una relación en [texx]\Bbb N \times \Bbb N[/texx]. Cuando se dice que [texx]\Bbb N \subset \Bbb Z[/texx] uno se refiere a que [texx]\Bbb Z[/texx] tiene un submonoide isomorfo a los naturales, y por tanto, a todos los efectos podemos identificar este submonoide con los números naturales.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Miguel.hs
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« Respuesta #2 : 16/07/2019, 10:29:30 am »

Gracias, gracias por la respuesta tan completa. Podrías darme el nombre de algún libro donde pueda encontrar dicha información para poder complementar? Por otro lado cómo se define a [texx]\mathbb{Z}[/texx] como una clase de equivalencia de [texx]\mathbb{N} \times\mathbb{N}[/texx]? O es que tal vez entendí mal.
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geómetracat
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« Respuesta #3 : 16/07/2019, 04:00:06 pm »

Sobre libros, probablemente en libros de teoría de conjuntos aparezcan todas. Las construcciones de los enteros a partir de los naturales y (sobre todo) de los racionales a partir de los enteros suelen aparecer en libros de álgebra abstracta, aunque de forma más general (construcción del cuerpo de cocientes de un dominio de integridad). Igualmente la construcción de los complejos a partir de los reales suele aparecer en libros de álgebra abstracta como ejemplo de extensión de cuerpos.

La construcción de los reales a partir de los racionales es de naturaleza distinta de las demás. Así como todas las otras son construcciones puramente algebraicas, ésta es una construcción topológica. Se suele encontrar en libros de análisis.

Un libro gratis en castellano donde estan estas cosas con detalle es el libro de teoría de conjuntos de Carlos Ivorra, que tiene un capítulo dedicado a ello, aunque no estoy seguro de cómo de fácil será de leer si no tienes muchos conocimientos previos de teoría de conjuntos.

Sobre la construcción de [texx]\Bbb Z[/texx], se definen los enteros como el conjunto cociente [texx]\Bbb Z = (\Bbb N \times \Bbb N)/ \sim[/texx], donde [texx]\sim[/texx] es una relación de equivalencia definida de la siguiente manera:
[texx](a,b) \sim (c,d)[/texx] si y solo si [texx]a+d = b+c[/texx].

Así pues, un número entero es una clase de equivalencia de pares de naturales. La intuición de esta construcción es que la clase [texx][(a,b)][/texx] representa el número entero [texx]a-b[/texx].
Puedes definir también la suma y el producto como [texx][(a,b)] + [(c,d)] = [(a+c, b+d)][/texx] y [texx][(a,b)][(c,d)] = [(ac+bd,ad+bc)][/texx], respectivamente, y comprobar que cumplen todas las propiedades que uno espera de los enteros.
Por último, fíjate que puedes identificar los naturales con el submonoide de [texx]\Bbb Z[/texx] formado por las clases de la forma [texx][(a,0)][/texx], de manera que aunque estrictamente [texx]\Bbb N[/texx] no es un subconjunto de [texx]\Bbb Z[/texx], sí que tenemos un subconjunto de [texx]\Bbb Z[/texx] que podemos identificar con los naturales.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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