16/07/2019, 11:11:59 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Posiciones relativas de dos rectas en el espacio  (Leído 149 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« : 12/07/2019, 11:28:37 am »

Hola, tengo un texto pero hay algo que no entiendo. Lo escribo:
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
"Dos rectas [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas si [texx]D(r)=D(s)[/texx].
Si dos rectas [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas entonces o bien [texx]r=s[/texx] o bien [texx]r\cap{s}=\emptyset[/texx].
Sean las rectas del espacio [texx]r:\{P:\mathbf{v}_{AP}=t\mathbf{v},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx], [texx]s=\{P:\mathbf{v}_{BP}=t\mathbf{w},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx],
entonces [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}[/texx] son linealmente dependientes, es decir, proporcionales.
Supongamos ahora que [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas. Entonces [texx]r=s[/texx] si y sólo si [texx]\mathbf{v}_{AB}\in{D(r)=D(s)}[/texx], es decir, si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes."
La duda es que [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx] son dos vectores cualesquiera del espacio, pero comparten un mismo punto, [texx]P[/texx]. ¿En qué me equivoco?.
¡Un saludo!
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 12/07/2019, 12:30:23 pm »


Hola, Marcos. No sé si entiendo bien todo, pero los vectores no tienen puntos, ni en común ni no en común, no son segmentos, otra cosa es que sus coordenadas sean la diferencia entre coordenadas de puntos. Lo que creo que dice es que si dos rectas son paralelas su vector director tiene la misma dirección; y si las rectas son paralelas coincidentes (si es la misma recta) entonces es el mismo vector director, no sólo tiene la misma dirección. En ese caso, como es el mismo, pues los “dos” vectores pasan sobre los puntos alineados, sobre los puntos de la recta r=s; pero si las rectas no son las mismas y son paraleas, los vectores de cada recta no pasan por ningún punto común que pase el otro; esto es obvio.

Saludos.
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 12/07/2019, 12:39:39 pm »

Hola feriva
Osea, que compartan letra en la notación no tiene nada que ver; pueden diferir por completo en sus coordenadas, ¿no?.
Un saludo
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 12/07/2019, 12:56:11 pm »

Hola feriva
Osea, que compartan letra en la notación no tiene nada que ver; pueden diferir por completo en sus coordenadas, ¿no?.
Un saludo

Hola,
Te dicen

Cita
Sean las rectas del espacio [texx]r:\{P:\mathbf{v}_{AP}=t\mathbf{v},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx], [texx]s=\{P:\mathbf{v}_{BP}=t\mathbf{w},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx],

y hasta aquí no dicen nada de si son paralelas, pueden ser lo que quieran

y luego dicen

Cita
entonces [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}[/texx] son linealmente dependientes, es decir, proporcionales.

En este caso no pueden tener un punto común. Ahora bien, después te habla de r=s, que entonces son paralelas y tienen todos los puntos en común porque son la misma. Si P es un punto, evidentemente cuando son paralelas y no es la misma no puede ser común a las dos rectas.

Saludos.
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 12/07/2019, 02:25:44 pm »


Supongamos ahora que [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas. Entonces [texx]r=s[/texx] si y sólo si [texx]\mathbf{v}_{AB}\in{D(r)=D(s)}[/texx], es decir, si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes."



La notación quiere decir algo que yo no entiendo. AP, BP, AB.¿Qué es?
Un saludo, feriva, que no he dicho ni hola.
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #5 : 12/07/2019, 03:24:35 pm »


Supongamos ahora que [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas. Entonces [texx]r=s[/texx] si y sólo si [texx]\mathbf{v}_{AB}\in{D(r)=D(s)}[/texx], es decir, si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes."



La notación quiere decir algo que yo no entiendo. AP, BP, AB.¿Qué es?
Un saludo, feriva, que no he dicho ni hola.

Supongo que serán dos puntos tales que con ellos se hallan los vectores directores

Por ejemplo,

[texx]P-A
 [/texx] puede ser [texx](32,16,8)-(2,2,2)=(30,14,6)
 [/texx]

y

[texx]P-B
 [/texx] puede ser [texx](32,16,8)-(17,9,5)=(15,7,3)
 [/texx]

Dos vectores paralelos, por ejemplo, y con P también puedes tener dos no paralelos; las coordenadas de los puntos y los vectores no tienen que ver, de ahí que con P no pase nada de lo que imagino que estás imaginando que pasa, porque no tiene nada que ver.

Saludos.
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 12/07/2019, 04:16:03 pm »

Eureka!
Son dos frases y a continuación la foto adjunta:
"Definición. El conjunto de todos los vectores fijos equivalentes a uno dado AB recibe el nombre de vector libre.
Cada uno de los vectores fijos pertenecientes a ese conjunto se llama representante del vector libre."

* 15629588792271548079319.jpg (1213.59 KB - descargado 4 veces.)
En línea

No man is an island (John Donne)
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 12/07/2019, 10:55:28 pm »

Hola
En mi humilde opinión, [texx]P[/texx] es un punto genérico [texx](x,y,z)[/texx] de [texx]\mathbb{R}^3[/texx], y los correspondientes vectores libres son:
- [texx]\mathbf{v}_{AP}=(x-a_1,y-a_2,z-a_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{BP}=(x-b_1,y-b_2,z-b_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)[/texx]
Y con esto quedaría resuelta mi duda, si fuera cierto lo que digo. Mi anterior mensaje fue una chapuza, pero sólo tengo un móvil, y justo antes de finalizar la exposición de lo que posteriormente se convirtió en dos frases y una foto mal hecha pero comprensible, me entró un mensaje de este hilo, y ya no supe cómo hacerlo. Después me obstiné en hacerlo rápido; iba a mil yo. Y salió lo que salió. Pero es comprensible, ¿no?. Me refiero a mi anterior mensaje; si no, lo repito en condiciones.
El caso es que ese texto me sugirió éste, que es mi primer intento serio de sacar las castañas del fuego; bueno, no del todo: me gustaría un mensaje de Luis Fuentes, geómetracat, ingmarov, no sé, alguien con más fortuna que yo.
Un saludo.
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #8 : 13/07/2019, 05:40:42 am »

Hola
En mi humilde opinión, [texx]P[/texx] es un punto genérico [texx](x,y,z)[/texx] de [texx]\mathbb{R}^3[/texx], y los correspondientes vectores libres son:
- [texx]\mathbf{v}_{AP}=(x-a_1,y-a_2,z-a_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{BP}=(x-b_1,y-b_2,z-b_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)[/texx]
Y con esto quedaría resuelta mi duda, si fuera cierto lo que digo. Mi anterior mensaje fue una chapuza, pero sólo tengo un móvil, y justo antes de finalizar la exposición de lo que posteriormente se convirtió en dos frases y una foto mal hecha pero comprensible, me entró un mensaje de este hilo, y ya no supe cómo hacerlo. Después me obstiné en hacerlo rápido; iba a mil yo. Y salió lo que salió. Pero es comprensible, ¿no?. Me refiero a mi anterior mensaje; si no, lo repito en condiciones.
El caso es que ese texto me sugirió éste, que es mi primer intento serio de sacar las castañas del fuego; bueno, no del todo: me gustaría un mensaje de Luis Fuentes, geómetracat, ingmarov, no sé, alguien con más fortuna que yo.
Un saludo.


Hola, Marcos, buenos días.

Con el calor que hace están todos los profes descansando, de momento te tendrás que conformar con mis explicaciones hasta que vengan los que saben (¡Horror! :cara_de_queso: ). No, es broma, no tardará en pasar alguien a explicar la cosa de una manera más formal.

Se me ocurre un ejemplo que es bueno. Imagina una bola de púas, como un acerico. Todas las púas salen de un mismo sitio y son extensibles como las antenas. Si la imaginas en un espacio de tres dimensiones, a cada púa le puedes encontrar un plano según su dirección pensando en unas púas paralelas, entonces el punto del cetro P sería de donde salen todas las varillas ésas. Esta bola no está en ningún espacio concreto, “P” es genérico, efectivamente, y con ese “P” y la bola tienes todos los vectores que quieras imaginar, en cualquier dirección y sentido, más largos, más corto. Cualquier P particular que elijas va a servir; es decir, tú quieres un vector según se te antoje, entonces siempre va a existir un número real “a” tal que “p-a” es el vector que hayas imaginado.

Ahora bien, al final de la explicación (en el enunciado que pones) haba de una misma recta y que, por tanto, tiene un mismo vector director; en ese caso P,A,B son colineales, es decir, si restas de entre esos puntos los que sea P-A, A-P... los que sean de ellos, entonces todos van a tener la misma dirección; esto es, la dirección se corresponde en todo caso  con una púa concreta de la bola de pinchos; pero porque hay definida una recta y para definir una recta necesitamos puntos en un espacio; para la bola no necesitamos ni puntos ni espacio; es decir, esos mismos P-A, A-B, etc, servirían para cualquier recta paralela, porque son vectores, no dependen de los puntos.

Si elijes puntos que sí son de la recta en concreto y los restas, entonces  la cosa cambia, va a condicionar el módulo según los puntos, la longitud de vector; que tendrá que cumplir la ecuación vectorial de la recta con esos puntos (también dentro de la recta se pueden elegir muchos y, según los que elijas, cambiará el módulo; de ahí que se ponga el “lambda” para que la ecuación

[texx](x,y,z)=(a,b,c)+\lambda(u,v,w)
 [/texx]

se acople al punto de la recta (x,y,z) que se elija.

Saludos.
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 13/07/2019, 06:31:11 am »

Hola feriva
Totalmente de acuerdo con tu exposición, que además veo que está de acuerdo con la mía
¡Un saludo!
En línea

No man is an island (John Donne)
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #10 : Hoy a las 04:34:54 am »

Hola a todos y todas
Yo mismo responderé esta duda: me matriculo en la UNED.
¡Un saludo!
En línea

No man is an island (John Donne)
ingmarov
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Honduras Honduras

Mensajes: 4.096



Ver Perfil
« Respuesta #11 : Hoy a las 09:43:22 am »

El caso es que ese texto me sugirió éste, que es mi primer intento serio de sacar las castañas del fuego; bueno, no del todo: me gustaría un mensaje de Luis Fuentes, geómetracat, ingmarov, no sé, alguien con más fortuna que yo.
Un saludo.

Hola Marcos y Feriva.

Por mi parte, no comprendo
[texx]r:\{P:\mathbf{v}_{AP}=t\mathbf{v},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx]

...

La duda es que [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx] son dos vectores cualesquiera del espacio, pero comparten un mismo punto, [texx]P[/texx]. ¿En qué me equivoco?.



Sé al igual que feriva cuándo dos rectas son paralelas y cuándo son iguales, pero no comprendo lo que has escrito.
¿Marcos sabes cuándo dos rectas son paralelas y cuándo son iguales?


Hola a todos y todas
Yo mismo responderé esta duda: me matriculo en la UNED.
¡Un saludo!

Eso está muy bien.  Aplauso


Saludos
En línea

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!