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Autor Tema: Posiciones relativas de dos rectas en el espacio  (Leído 988 veces)
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Marcos Castillo
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« : 12/07/2019, 11:28:37 am »

Hola, tengo un texto pero hay algo que no entiendo. Lo escribo:
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
"Dos rectas [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas si [texx]D(r)=D(s)[/texx].
Si dos rectas [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas entonces o bien [texx]r=s[/texx] o bien [texx]r\cap{s}=\emptyset[/texx].
Sean las rectas del espacio [texx]r:\{P:\mathbf{v}_{AP}=t\mathbf{v},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx], [texx]s=\{P:\mathbf{v}_{BP}=t\mathbf{w},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx],
entonces [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}[/texx] son linealmente dependientes, es decir, proporcionales.
Supongamos ahora que [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas. Entonces [texx]r=s[/texx] si y sólo si [texx]\mathbf{v}_{AB}\in{D(r)=D(s)}[/texx], es decir, si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes."
La duda es que [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx] son dos vectores cualesquiera del espacio, pero comparten un mismo punto, [texx]P[/texx]. ¿En qué me equivoco?.
¡Un saludo!
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« Respuesta #1 : 12/07/2019, 12:30:23 pm »


Hola, Marcos. No sé si entiendo bien todo, pero los vectores no tienen puntos, ni en común ni no en común, no son segmentos, otra cosa es que sus coordenadas sean la diferencia entre coordenadas de puntos. Lo que creo que dice es que si dos rectas son paralelas su vector director tiene la misma dirección; y si las rectas son paralelas coincidentes (si es la misma recta) entonces es el mismo vector director, no sólo tiene la misma dirección. En ese caso, como es el mismo, pues los “dos” vectores pasan sobre los puntos alineados, sobre los puntos de la recta r=s; pero si las rectas no son las mismas y son paraleas, los vectores de cada recta no pasan por ningún punto común que pase el otro; esto es obvio.

Saludos.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #2 : 12/07/2019, 12:39:39 pm »

Hola feriva
Osea, que compartan letra en la notación no tiene nada que ver; pueden diferir por completo en sus coordenadas, ¿no?.
Un saludo
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« Respuesta #3 : 12/07/2019, 12:56:11 pm »

Hola feriva
Osea, que compartan letra en la notación no tiene nada que ver; pueden diferir por completo en sus coordenadas, ¿no?.
Un saludo

Hola,
Te dicen

Cita
Sean las rectas del espacio [texx]r:\{P:\mathbf{v}_{AP}=t\mathbf{v},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx], [texx]s=\{P:\mathbf{v}_{BP}=t\mathbf{w},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx],

y hasta aquí no dicen nada de si son paralelas, pueden ser lo que quieran

y luego dicen

Cita
entonces [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}[/texx] son linealmente dependientes, es decir, proporcionales.

En este caso no pueden tener un punto común. Ahora bien, después te habla de r=s, que entonces son paralelas y tienen todos los puntos en común porque son la misma. Si P es un punto, evidentemente cuando son paralelas y no es la misma no puede ser común a las dos rectas.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 12/07/2019, 02:25:44 pm »


Supongamos ahora que [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas. Entonces [texx]r=s[/texx] si y sólo si [texx]\mathbf{v}_{AB}\in{D(r)=D(s)}[/texx], es decir, si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes."



La notación quiere decir algo que yo no entiendo. AP, BP, AB.¿Qué es?
Un saludo, feriva, que no he dicho ni hola.
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« Respuesta #5 : 12/07/2019, 03:24:35 pm »


Supongamos ahora que [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas. Entonces [texx]r=s[/texx] si y sólo si [texx]\mathbf{v}_{AB}\in{D(r)=D(s)}[/texx], es decir, si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes."



La notación quiere decir algo que yo no entiendo. AP, BP, AB.¿Qué es?
Un saludo, feriva, que no he dicho ni hola.

Supongo que serán dos puntos tales que con ellos se hallan los vectores directores

Por ejemplo,

[texx]P-A
 [/texx] puede ser [texx](32,16,8)-(2,2,2)=(30,14,6)
 [/texx]

y

[texx]P-B
 [/texx] puede ser [texx](32,16,8)-(17,9,5)=(15,7,3)
 [/texx]

Dos vectores paralelos, por ejemplo, y con P también puedes tener dos no paralelos; las coordenadas de los puntos y los vectores no tienen que ver, de ahí que con P no pase nada de lo que imagino que estás imaginando que pasa, porque no tiene nada que ver.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 12/07/2019, 04:16:03 pm »

Eureka!
Son dos frases y a continuación la foto adjunta:
"Definición. El conjunto de todos los vectores fijos equivalentes a uno dado AB recibe el nombre de vector libre.
Cada uno de los vectores fijos pertenecientes a ese conjunto se llama representante del vector libre."

* 15629588792271548079319.jpg (1213.59 KB - descargado 11 veces.)
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« Respuesta #7 : 12/07/2019, 10:55:28 pm »

Hola
En mi humilde opinión, [texx]P[/texx] es un punto genérico [texx](x,y,z)[/texx] de [texx]\mathbb{R}^3[/texx], y los correspondientes vectores libres son:
- [texx]\mathbf{v}_{AP}=(x-a_1,y-a_2,z-a_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{BP}=(x-b_1,y-b_2,z-b_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)[/texx]
Y con esto quedaría resuelta mi duda, si fuera cierto lo que digo. Mi anterior mensaje fue una chapuza, pero sólo tengo un móvil, y justo antes de finalizar la exposición de lo que posteriormente se convirtió en dos frases y una foto mal hecha pero comprensible, me entró un mensaje de este hilo, y ya no supe cómo hacerlo. Después me obstiné en hacerlo rápido; iba a mil yo. Y salió lo que salió. Pero es comprensible, ¿no?. Me refiero a mi anterior mensaje; si no, lo repito en condiciones.
El caso es que ese texto me sugirió éste, que es mi primer intento serio de sacar las castañas del fuego; bueno, no del todo: me gustaría un mensaje de Luis Fuentes, geómetracat, ingmarov, no sé, alguien con más fortuna que yo.
Un saludo.
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« Respuesta #8 : 13/07/2019, 05:40:42 am »

Hola
En mi humilde opinión, [texx]P[/texx] es un punto genérico [texx](x,y,z)[/texx] de [texx]\mathbb{R}^3[/texx], y los correspondientes vectores libres son:
- [texx]\mathbf{v}_{AP}=(x-a_1,y-a_2,z-a_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{BP}=(x-b_1,y-b_2,z-b_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)[/texx]
Y con esto quedaría resuelta mi duda, si fuera cierto lo que digo. Mi anterior mensaje fue una chapuza, pero sólo tengo un móvil, y justo antes de finalizar la exposición de lo que posteriormente se convirtió en dos frases y una foto mal hecha pero comprensible, me entró un mensaje de este hilo, y ya no supe cómo hacerlo. Después me obstiné en hacerlo rápido; iba a mil yo. Y salió lo que salió. Pero es comprensible, ¿no?. Me refiero a mi anterior mensaje; si no, lo repito en condiciones.
El caso es que ese texto me sugirió éste, que es mi primer intento serio de sacar las castañas del fuego; bueno, no del todo: me gustaría un mensaje de Luis Fuentes, geómetracat, ingmarov, no sé, alguien con más fortuna que yo.
Un saludo.


Hola, Marcos, buenos días.

Con el calor que hace están todos los profes descansando, de momento te tendrás que conformar con mis explicaciones hasta que vengan los que saben (¡Horror! :cara_de_queso: ). No, es broma, no tardará en pasar alguien a explicar la cosa de una manera más formal.

Se me ocurre un ejemplo que es bueno. Imagina una bola de púas, como un acerico. Todas las púas salen de un mismo sitio y son extensibles como las antenas. Si la imaginas en un espacio de tres dimensiones, a cada púa le puedes encontrar un plano según su dirección pensando en unas púas paralelas, entonces el punto del cetro P sería de donde salen todas las varillas ésas. Esta bola no está en ningún espacio concreto, “P” es genérico, efectivamente, y con ese “P” y la bola tienes todos los vectores que quieras imaginar, en cualquier dirección y sentido, más largos, más corto. Cualquier P particular que elijas va a servir; es decir, tú quieres un vector según se te antoje, entonces siempre va a existir un número real “a” tal que “p-a” es el vector que hayas imaginado.

Ahora bien, al final de la explicación (en el enunciado que pones) haba de una misma recta y que, por tanto, tiene un mismo vector director; en ese caso P,A,B son colineales, es decir, si restas de entre esos puntos los que sea P-A, A-P... los que sean de ellos, entonces todos van a tener la misma dirección; esto es, la dirección se corresponde en todo caso  con una púa concreta de la bola de pinchos; pero porque hay definida una recta y para definir una recta necesitamos puntos en un espacio; para la bola no necesitamos ni puntos ni espacio; es decir, esos mismos P-A, A-B, etc, servirían para cualquier recta paralela, porque son vectores, no dependen de los puntos.

Si elijes puntos que sí son de la recta en concreto y los restas, entonces  la cosa cambia, va a condicionar el módulo según los puntos, la longitud de vector; que tendrá que cumplir la ecuación vectorial de la recta con esos puntos (también dentro de la recta se pueden elegir muchos y, según los que elijas, cambiará el módulo; de ahí que se ponga el “lambda” para que la ecuación

[texx](x,y,z)=(a,b,c)+\lambda(u,v,w)
 [/texx]

se acople al punto de la recta (x,y,z) que se elija.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 13/07/2019, 06:31:11 am »

Hola feriva
Totalmente de acuerdo con tu exposición, que además veo que está de acuerdo con la mía
¡Un saludo!
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« Respuesta #10 : 16/07/2019, 04:34:54 am »

Hola a todos y todas
Yo mismo responderé esta duda: me matriculo en la UNED.
¡Un saludo!
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« Respuesta #11 : 16/07/2019, 09:43:22 am »

El caso es que ese texto me sugirió éste, que es mi primer intento serio de sacar las castañas del fuego; bueno, no del todo: me gustaría un mensaje de Luis Fuentes, geómetracat, ingmarov, no sé, alguien con más fortuna que yo.
Un saludo.

Hola Marcos y Feriva.

Por mi parte, no comprendo
[texx]r:\{P:\mathbf{v}_{AP}=t\mathbf{v},\;\mbox{con t}\in{\mathbf{R}}\}[/texx]

...

La duda es que [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx] son dos vectores cualesquiera del espacio, pero comparten un mismo punto, [texx]P[/texx]. ¿En qué me equivoco?.



Sé al igual que feriva cuándo dos rectas son paralelas y cuándo son iguales, pero no comprendo lo que has escrito.
¿Marcos sabes cuándo dos rectas son paralelas y cuándo son iguales?


Hola a todos y todas
Yo mismo responderé esta duda: me matriculo en la UNED.
¡Un saludo!

Eso está muy bien.  Aplauso


Saludos
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« Respuesta #12 : 17/07/2019, 07:34:19 am »


Supongamos ahora que [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] son paralelas. Entonces [texx]r=s[/texx] si y sólo si [texx]\mathbf{v}_{AB}\in{D(r)=D(s)}[/texx], es decir, si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes."



Hola ingmarov, la verdad es que no entiendo todo lo que afirmo entender de alguna forma en mi primer mensaje. ¿Cuándo dos rectas son paralelas y cuándo son iguales?. Creo que tengo claro cuando son paralelas, pero en la cita que te pongo,  "[texx]r=s[/texx] si y sólo si [texx]\mathbf{v}_{AB}\in{D(r)=D(s)}[/texx], es decir, si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes.":si y sólo si [texx]\{\mathbf{v},\mathbf{v}_{AB}\}[/texx] son linealmente dependientes, ¿lo dice así porque se sobreentiende que [texx]\mathbf{w}[/texx] ya es linealmente dependiente a [texx]\mathbf{v}[/texx]?


En cuanto a la duda sobre [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx], [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx], [texx]\mathbf{v}_{AB}[/texx], consiste en lo siguiente: [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx] son vectores genéricos, libres y distintos. Mi duda era: ¿por qué comparten la letra [texx]P[/texx]?. Luego está [texx]\mathbf{v}_{AB}[/texx]; osea que hay tres letras para tres vectores que antes de que empiece el razonamiento no tienen nada que ver. En ese punto me sitúo yo para intentar entender la razón de las tres letras. Y mi gran invención ha sido la siguiente:  [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx] son vectores genéricos, libres y distintos, pero comparten notación en la dichosa [texx]P[/texx]. ¿Por qué según yo?. ¿Porque las coordenadas de ambos coinciden?. Sí, pero no. Las coordenadas de los vectores en el espacio son genéricas en el caso de [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx]. Con genéricas me refiero a que no dan indicaciones de ser unas coordenadas concretas, al igual que un punto [texx]P=(x,y,z)[/texx] de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] es un punto genérico de [texx]\mathbb{R}^3[/texx]. Las coordenadas de [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx], según este criterio deben dejar que los vectores queden sin definir. Sus coordenadas, según mis tribulaciones, dejan abierta la puerta a concretar dichas coordenadas. A sustituir [texx]x[/texx], [texx]y[/texx] y [texx]z[/texx] por números. Las coordenadas quedarían:

- [texx]\mathbf{v}_{AP}=(x-a_1,y-a_2,z-a_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{BP}=(x-b_1,y-b_2,z-b_3)[/texx];
- [texx]\mathbf{v}_{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)[/texx]

[texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx] en el fondo no comparten nada aunque compartan la [texx]P[/texx] en la notación, porque desde mi punto de vista quedan a merced de lo que cada uno decida hacer con ese punto [texx]P=(x,y,z)[/texx] que se encuentra en las coordenadas de [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx]. Tampoco los puntos [texx](a_1,a_2,a_3)[/texx] y [texx](b_1,b_2,b_3)[/texx] dicen nada hasta este punto, por ser distintos.
Sin embargo [texx]\mathbf{v}_{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)[/texx] sí dice algo después de soltar este rollo: es la resta del punto [texx](b_1,b_2,b_3)[/texx] menos el punto [texx](a_1,a_2,a_3)[/texx]: dos puntos por los que pasan [texx]\mathbf{v}_{AP}[/texx] y [texx]\mathbf{v}_{BP}[/texx], y los dos que definen las coordenadas de la recta en la que [texx]r=s[/texx].

¡Un saludo!





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« Respuesta #13 : 17/07/2019, 10:51:57 am »

Hola

¿Qué me dices de estas rectas?

[texx]L_1:\quad (x,y,z)=(1,2,1)+t(2,1,1)[/texx]

[texx]L_2:\quad (x,y,z)=(-1,1,0)+t(-6,-3,-3)[/texx]

[texx]L_3:\quad (x,y,z)=(-1,1,2)+t(4,2,2)[/texx]


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« Respuesta #14 : 17/07/2019, 04:59:21 pm »

Hola ingmarov
Son tres rectas paralelas y distintas. No ha cambiado mi lectura del asunto. No sé, no lo veo, ingmarov.  :BangHead:
Un saludo
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« Respuesta #15 : 17/07/2019, 05:18:42 pm »

Hola ingmarov
Son tres rectas paralelas y distintas. No ha cambiado mi lectura del asunto. No sé, no lo veo, ingmarov.  :BangHead:
Un saludo

Sí son tres rectas paralelas porque sus vectores directores lo son (son linealmente dependientes), pero L1 =L2. ¿Cómo lo sé?  Tomemos por ejemplo de L1

(1,2,1) ¿es este un punto de L2?

Veamos

(1,2,1)=(-1,1,0)+t(-6,-3,-3).      Busquemos un valor t para el que se compla la igualdad

[texx]1=-1-6t\quad\Rightarrow\quad t=-1/3[/texx]  primera componente


[texx]2=1-3t\quad\Rightarrow\quad t=-1/3[/texx]  segunda componente


[texx]1=-3t\quad\Rightarrow\quad t=-1/3[/texx]  tercera componente

Cómo el valor de t coincide para las tres componentes, podemos decir que (1,2,1) pertenece a L2. Y añado, cómo L1 y L2 son paralelas y tienen un punto en común, entonces L1=L2.


También se puede hacer esto

(1,2,1)=(-1,1,0)+t(-6,-3,-3)
(1,2,1)-(-1,1,0)=t(-6,-3,-3)
(2,1,1)=t(-6,-3,-3).      Y se cumple si t=-1/3



Ahora prueba (1,2,1) en L3
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« Respuesta #16 : 17/07/2019, 06:53:48 pm »

Pues yo he sacado las implícitas y los puntos que tú dices no me cuadran
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« Respuesta #17 : 17/07/2019, 06:59:39 pm »

Pues yo he sacado las implícitas y los puntos que tú dices no me cuadran

Es porque L3 es distinta a L1 y a L2.
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« Respuesta #18 : 17/07/2019, 07:08:26 pm »

En cada implícita he probado puntos de las otras dos. El caso es que no sé rebatir tu razonamiento :¿eh?:
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« Respuesta #19 : 18/07/2019, 04:09:23 am »

Hola

En cada implícita he probado puntos de las otras dos. El caso es que no sé rebatir tu razonamiento :¿eh?:

Veamos. Las rectas son:

[texx]L_1:\quad (x,y,z)=(1,2,1)+t(2,1,1)[/texx]

[texx]L_2:\quad (x,y,z)=(-1,1,0)+t(-6,-3,-3)[/texx]

Las ecuaciones implícitas de la primera son:

[texx]\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-1}{1}[/texx]

Simplificando:

[texx]x-2y+3=0[/texx]
[texx]y-z-1=0[/texx]

Las de la segunda:

[texx]\dfrac{x+1}{-6}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z}{-3}[/texx]

Simplificando:

[texx]x-2y+3=0[/texx]
[texx]y-z-1=0[/texx]

¡Las mismas!

Operando de otra manera podrías haber obtenido otras implícitas combinación lineal de las anteriores y por tanto con las mismas soluciones que la satisfacen.

Saludos.

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