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Autor Tema: Integrabilidad de una función convexa en coordenadas  (Leído 38 veces)
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elimogo
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« : 11/07/2019, 04:59:47 pm »

Suponga que,

i) [texx](\Omega_1 ,\mathcal{A},\mu)[/texx], [texx](\Omega_2 ,\mathcal{B},\upsilon)[/texx] son espacios medibles.

ii) [texx]p:\Omega_1 \rightarrow{\mathbb{R}}, p\in{L^1 (\mu)}[/texx] y [texx]w:\Omega_2 \rightarrow{\mathbb{R}}, w\in{L^1 (\upsilon)}[/texx] son funciones no negativas tales que, [texx]\displaystyle\int_{\Omega_1}^{}pd\mu\neq{0}[/texx], [texx]\displaystyle\int_{\Omega_2}^{}wd\upsilon\neq{0}[/texx],

iii)[texx]g:\Omega_1 \rightarrow{{I}}, g\in{L^\infty (\mu)}[/texx] y [texx]h:\Omega_2 \rightarrow{J}, h\in{L^\infty (\upsilon)}[/texx], [texx]I,J\subset{\mathbb{R}}[/texx]

iv) [texx]\varphi:I[/texx]x[texx]J\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] es convexa en coordenadas sobre [texx]I[/texx]x[texx]J[/texx].

Entonces, por ejemplo aplicando la desigualdad de Jensen en la primera coordenada tenemos que;

     [texx]\varphi(\bar{g},h)\leq{\displaystyle\frac{1}{P}\displaystyle\int_{\Omega_1}^{}p\varphi(g,h)d\mu}[/texx]   (1)

  donde [texx]P=\displaystyle\int_{\Omega_1}^{}pd\mu[/texx] y [texx]\bar{g}=\displaystyle\frac{1}{P}\displaystyle\int_{\Omega_1}^{}pgd\mu[/texx].

Entonces, ¿como puedo justificar que puedo integrar la desigualdad (1) sobre [texx]\Omega_2[/texx]?
Necesito integrarla, pero no sé si exista la integral sobre [texx]\Omega_2[/texx] en ambos lados la desigualdad (1).

Gracias de antemano.
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