16/07/2019, 11:12:32 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Planos sencillos  (Leído 172 veces)
0 Usuarios y 2 Visitantes están viendo este tema.
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« : 11/07/2019, 08:51:03 am »

Hola
¿Cuál es la representación geométrica de los planos [texx]x=0[/texx], [texx]x-y=0[/texx] y [texx]y+z=0[/texx]?. Más que su representación concreta, me gustaría saber razonarlo.
¡Un saludo!
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 11/07/2019, 09:29:10 am »

Hola
¿Cuál es la representación geométrica de los planos [texx]x=0[/texx], [texx]x-y=0[/texx] y [texx]y+z=0[/texx]?. Más que su representación concreta, me gustaría saber razonarlo.
¡Un saludo!

Hola, Marcos.

x=0 es el plano que forman los ejes YZ de forma que el punto (x,y,z)=(0,0,0) pertenece al plano; o sea, está pegado al origen.

Esto está mal

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 11/07/2019, 10:36:14 am »

Perfecto. Voy a publicar otro hilo con un sistema de ecuaciones entre las que están éstas.
¡Un saludo!
En línea

No man is an island (John Donne)
Gustavo
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Colombia Colombia

Mensajes: 1.735


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 11/07/2019, 10:44:21 am »

Hola,

x=y es una famila de planos, si fuera con z=0, sería análogo a lo de antes, el eje X,Y pegado al origen. Pero como no obliga a z a valer nada son todos los planos paralelos X,Y, todos los “tabiques”.

Del mismo modo para el plano y=-z, otra familia de planos. La cuestión es que no se dice nada de “x” y, por tanto, los x se quedan fijos dando lugar a planos Y,Z. Da igual si los vectores, dentro del plano, miran para allá o para acá, son vectores “pegados” al plano (cualesquiera linealmente independientes formarán una base) no cambian respecto de la “altura” de x. 

Eso no es correcto.

La ecuación [texx]x=y[/texx] en [texx]\mathbf R^3[/texx] define un (unico) plano. Cualquier elemento [texx](x,y,z)[/texx] de ese plano es de la forma [texx](x,x,z)[/texx] para algunos [texx]x,z\in \mathbf R[/texx]. A su vez puedes reescribir [texx](x,x,z)=x(1,1,0)+z(0,0,1)[/texx], así que el plano está generado por los vectores [texx](1,1,0)[/texx] y [texx](0,0,1)[/texx]. Otra forma de describirlo es como el plano perpendicular al vector [texx](1,-1,0)[/texx] que pasa por el origen.

Si también tenemos la ecuación [texx]z=0[/texx], sería una recta (la intersección de los planos [texx]x=y[/texx] y [texx]z=0[/texx]).

Algo análogo para [texx]y=-z[/texx]: esa ecuación define un único plano.
En línea
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 11/07/2019, 11:00:22 am »

Hola Gustavo

Primero muchas gracias por la aclaración respecto a [texx]x=y[/texx]. En cuanto a [texx]x=0[/texx], es otro plano en el contexto del hilo que voy a crear ahora.
¡Un saludo!
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #5 : 11/07/2019, 01:17:29 pm »


Eso no es correcto.

La ecuación [texx]x=y[/texx] en [texx]\mathbf R^3[/texx] define un (unico) plano. Cualquier elemento [texx](x,y,z)[/texx] de ese plano es de la forma [texx](x,x,z)[/texx] para algunos [texx]x,z\in \mathbf R[/texx]. A su vez puedes reescribir [texx](x,x,z)=x(1,1,0)+z(0,0,1)[/texx], así que el plano está generado por los vectores [texx](1,1,0)[/texx] y [texx](0,0,1)[/texx]. Otra forma de describirlo es como el plano perpendicular al vector [texx](1,-1,0)[/texx] que pasa por el origen.

Si también tenemos la ecuación [texx]z=0[/texx], sería una recta (la intersección de los planos [texx]x=y[/texx] y [texx]z=0[/texx]).

Algo análogo para [texx]y=-z[/texx]: esa ecuación define un único plano.


Gracias, Gustavo. Sí, evidentemente, estaba ofuscado totalmente.


Ni caso al spoiler



Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.

* planosxy.jpg (32.07 KB - descargado 114 veces.)
En línea

geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 597



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 11/07/2019, 02:11:50 pm »

Gustavo tiene razón, y la verdad es que no entiendo bien la explicación de feriva.
La ecuación [texx]x-y=0[/texx] describe todos los puntos [texx](x,y,z) \in \Bbb R^3[/texx] que cumplen la ecuación, es decir, los puntos de la forma [texx](x,x,z)[/texx] para algún [texx]x,z \in \Bbb R[/texx]. Esos puntos forman un (único) plano que pasa por el origen.

En general, cualquier ecuación de la forma [texx]ax+by+cz=0[/texx] para algunos coeficientes fijados [texx]a,b,c[/texx] es la ecuación de un único plano en [texx]\Bbb R^3[/texx] que pasa por el origen. El plano está formado por todos los puntos que satsfacen la ecuación.

En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 11/07/2019, 02:30:21 pm »

¡Muchas gracias, feriva, Gustavo, geómetracat!
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #8 : 11/07/2019, 04:25:38 pm »

Gustavo tiene razón, y la verdad es que no entiendo bien la explicación de feriva.
La ecuación [texx]x-y=0[/texx] describe todos los puntos [texx](x,y,z) \in \Bbb R^3[/texx] que cumplen la ecuación, es decir, los puntos de la forma [texx](x,x,z)[/texx] para algún [texx]x,z \in \Bbb R[/texx]. Esos puntos forman un (único) plano que pasa por el origen.

En general, cualquier ecuación de la forma [texx]ax+by+cz=0[/texx] para algunos coeficientes fijados [texx]a,b,c[/texx] es la ecuación de un único plano en [texx]\Bbb R^3[/texx] que pasa por el origen. El plano está formado por todos los puntos que satsfacen la ecuación.

Hola, Geómetracat.

Pues no lo entiendo, pasará por (0,0) en [texx]\mathbb{R}^{2}
 [/texx] pero con eje Z... Salvo que haya un convenio para que z=0, no lo puedo entender. Si “z” no aparece en la ecuación, yo entiendo que no varía mientras sí lo hacen x,y, es decir, desde ese punto de vista es constante, respecto de x,y (pero nada especifica que se entienda un solo valor).

Las paramétricas de esa ecuación, tal como yo veo son

[texx]x=\lambda+0
 [/texx]

[texx]y=\beta+0
 [/texx]

[texx]z=z
 [/texx]

Pongo los ceros porque no hay términos independientes distintos de cero, los cuales despejaríamos para obtener el vector mediante la resta de coordenadas de puntos, aislando los parámetros con sus coeficientes que nos dan las coordenadas de vectores

[texx]x-0=\lambda
 [/texx]

[texx]y-0=\beta
 [/texx]

[texx]z-z=0
 [/texx]

Ahí no se le puede dar un parámetro a “z”, lo que varía son los vectores respecto de los ejes “x” e “y”, z es una coordenada de punto en las paramétricas.

El vector, entonces, sí es [texx](\lambda,\beta,0)
 [/texx], con 0 en la tercera coordenada siempre, pero z-z puede ser 5-5 ó 7-7 o lo que sea (siempre será cero, ¿no?). Una cosa es la coordenada del vector y otra la del punto. Y aquí una vez más vemos que “z” no puede hacer las veces de un parámetro, a los parámetros les podemos dar valores arbitrarios, aquí no, la tercera coordenada del vector es fija, es cero. Por mucho que le pongamos un lambda delante, [texx]\lambda(1,1,0)
 [/texx] va a ser cero. Pero eso no quita que en las paramétricas, como coordenada de punto, su valor sea libre; no obliga, que yo vea, a que el punto (0,0,0) pertenezca al plano.

Otra cosa distinta es tener la ecuación de dos planos cuya intersección es una recta, como éstas:

[texx]y+z=0
 [/texx]

[texx]z=0
 [/texx]

En la ecuación de arriba, “z” varía junto a “y”, en esa ecuación, aisladamente, “z” no vale cero, no sería la ecuación de un plano si pasara eso. Entre tanto, de x no se dice nada, como en el caso anterior.

En la de abajo “z” es cero, pero es otro plano distinto, el de los ejes XY.

Son ecuaciones de dos planos distintos cuya intersección es una recta. O sea, en la intersección, cosa diferente a los planos en sí, sí se cumplen a la vez las condiciones de ambos, quedando los ejes y,z anuladas, con lo que el único que varía es la que no aparece en las ecuaciones, el x. Para mí perfecto, tiene todo el sentido, no veo nada raro, una cosa es la intersección y otra los planos. Pero si ahora me decís que cuando no aparece una variable, como antes “z”, tiene que ser cero fijo... pues aquí en la intersección no sale una recta, sale el punto (0,0,0) porque x no aparece y según eso también tendría ser cero.

Pero bueno, no me hagáis caso, será el calor :cara_de_queso:

Saludos.



En línea

geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 597



Ver Perfil
« Respuesta #9 : 11/07/2019, 04:56:18 pm »

No hay ningún convenio de que [texx]z=0[/texx], ni se fija ningún valor para [texx]z[/texx] ni nada parecido. El punto [texx](0,0,0)[/texx] pertenece al plano simplemente porque satisface la ecuación [texx]x-y=0[/texx], es decir, porque su primera componente menos su segunda componente es [texx]0[/texx].
Los puntos [texx](0,0,1), (0,0,3), (0,0,-20)[/texx] y en general [texx](0,0,z)[/texx] para cualquier [texx]z \in \Bbb R[/texx] también están en el plano.
Pero un punto como [texx](4,5,2)[/texx] no está en el plano porque [texx]4-5 \neq 0[/texx].
Las ecuaciones paramétricas serían:
[texx]x = \lambda[/texx]
[texx]y = \lambda[/texx]
[texx]z = \mu[/texx]
porque en los puntos del plano [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] deben tener el mismo valor, mientras que no hay ninguna restricción sobre el valor de [texx]z[/texx].

Fíjate que tal como lo planteas tú, la ecuación [texx]x-y=0[/texx] no parece pintar nada. ¿Qué diferencia habría en lo que explicas si la ecuación hubiera sido [texx]x+3y=0[/texx]?
La diferencia está clara: el punto [texx](3,3,7)[/texx] satisface la ecuación [texx]x-y=0[/texx], y por tanto está en el plano descrito por esa ecuación, mientras que no satisface la ecuación [texx]x+3y=0[/texx], y por tanto no está en el plano descrito por esta última ecuación.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #10 : 11/07/2019, 05:58:01 pm »

No hay ningún convenio de que [texx]z=0[/texx], ni se fija ningún valor para [texx]z[/texx] ni nada parecido. El punto [texx](0,0,0)[/texx] pertenece al plano simplemente porque satisface la ecuación [texx]x-y=0[/texx], es decir, porque su primera componente menos su segunda componente es [texx]0[/texx].
Los puntos [texx](0,0,1), (0,0,3), (0,0,-20)[/texx] y en general [texx](0,0,z)[/texx] para cualquier [texx]z \in \Bbb R[/texx] también están en el plano.
Pero un punto como [texx](4,5,2)[/texx] no está en el plano porque [texx]4-5 \neq 0[/texx].
Las ecuaciones paramétricas serían:
[texx]x = \lambda[/texx]
[texx]y = \lambda[/texx]
[texx]z = \mu[/texx]
porque en los puntos del plano [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] deben tener el mismo valor, mientras que no hay ninguna restricción sobre el valor de [texx]z[/texx].

Fíjate que tal como lo planteas tú, la ecuación [texx]x-y=0[/texx] no parece pintar nada. ¿Qué diferencia habría en lo que explicas si la ecuación hubiera sido [texx]x+3y=0[/texx]?
La diferencia está clara: el punto [texx](3,3,7)[/texx] satisface la ecuación [texx]x-y=0[/texx], y por tanto está en el plano descrito por esa ecuación, mientras que no satisface la ecuación [texx]x+3y=0[/texx], y por tanto no está en el plano descrito por esta última ecuación.

Ah, sí, ya entiendo lo que dices, no es constante entonces, no queda fija mientras varían las otras. Pues tenía un error de concepto, o bien, con el tiempo, fue “viciándose” en mi cabeza hasta recordarlo mal.

Muchas gracias, Geómetracat y Gustavo.

Saludos.
En línea

feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #11 : 12/07/2019, 04:25:38 am »

¡Muchas gracias, feriva, Gustavo, geómetracat!

Lo que me tenías que dar en vez de las gracias es un palo en la cabeza por decir lo que estaba diciendo; no sé cómo se me pudo meter esta idea entre ceja y ceja, y además se me debió meter hace tiempo, porque hace un mes o así también te lo dije mal y te hice otro dibujo con un plano que no era.

Obviamente, si en "erre dos" larecta x=y es la recta que está inclinada 45º, pues no es todo el plano XY, es sólo esa recta. Si ahora queda libre z para tomar valores en "erre tres", el plano que tenemos es semejante a una puerta entreabierta y no la familia de planos paralelos a XY



Perdonadme la tontería que había dicho, aunque es imperdonable.

Saludos.

* planoxy_z_libre.jpg (26.95 KB - descargado 29 veces.)
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.491


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 12/07/2019, 05:42:08 am »

¡Muchas gracias por el dibujo!
Yo siempre doy las gracias porque también aprendo de los errores ajenos. Parezco Gandhi  :risa:
En línea

No man is an island (John Donne)
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 597



Ver Perfil
« Respuesta #13 : 12/07/2019, 05:50:27 am »

No te preocupes feriva, que todos nos equivocamos. Además, de los errores es de lo que más se aprende en matemáticas (o por lo menos, a mí me pasa).

El plano de ecuación [texx]x=y[/texx] es el que has dibujado, ahora sí tienes el concepto bien.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.233



Ver Perfil
« Respuesta #14 : 12/07/2019, 07:10:15 am »


Muchas gracias por vuestra indulgencia, Marcos y Geómetracat; si hiciera estas cosas en el foro de de math.stackexchange (en el de los guiris, que dice manooooh) ya me habrían ejecutado varias veces (como poco).

Saludos.
En línea

Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!