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Autor Tema: Sigma álgebra  (Leído 160 veces)
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Julio_fmat
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« : 10/07/2019, 10:50:02 pm »

Si [texx]\Omega=\{1,2,3,4,5\}[/texx]. Encuentre la [texx]\sigma-[/texx]álgebra generada por la siguiente colección [texx]A=\left\{ \{1,2,3\}, \left\{{4,5}\right\}, \left\{{1}\right\} \right\}.[/texx]

Hola, no comprendo lo que hay que hacer..
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« Respuesta #1 : 11/07/2019, 05:59:58 am »

Si [texx]\Omega=\left\{1,2,3,4,5\right\}[/texx]. Encuentre el [texx]\sigma-[/texx]algebra generado por la siguiente coleccion [texx]A=\left\{ \{1,2,3\}, \left\{{4,5}\right\}, \left\{{1}\right\} \right\}.[/texx]

Hola, no comprendo lo que hay que hacer..

Pues tienes que hacer lo que te piden :sonrisa:. Debes encontrar la mínima colección de conjuntos que contiene a A que esté cerrado bajo las operaciones de complementación y unión contable.

¿Cómo sabes que la colección es mínima? Haciendo la construcción paso a paso desde A recursivamente, es decir: aplicando a los elementos de A complementación y luego unión contable de sus diferentes subconjuntos, y luego con lo que te quede volver a hacer lo mismo (complementación primero y luego unión contable de sus diferentes subconjuntos), hasta que la colección que tengas sea finalmente una [texx]\sigma[/texx]-álgebra (es decir, hasta que la colección que tengas sea invariante respecto a la complementación o la unión contable). Como [texx]\Omega[/texx] es pequeño se puede hacer manualmente.
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nia
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« Respuesta #2 : 11/07/2019, 10:49:07 pm »

Notas

Creo que se parte de una masa con los conjuntos dados mas el vacío y el universal.
A esta masa se le añaden sus complementarios, dando una nueva masa.
A esta nueva masa resultante se le pone a interseccionar (que la contiene)
Y ya, las uniones posibles, son el álgebra de Boole pedido del ejercicio.
(Creo que el último paso admite optimización a uniones disjuntas.)

No creo que haga falta, en este caso, recursividad.

Si algo es estable a la complementación hace que sean sinónimos la estabilidad a la unión y de la intersección.

La recursividad que se plantea es para lograr la del par estable de la complementación con las uniones posibles, suficiente, lo que también se puede lograr con el par complementación e intersección.

Nota añadida el 19/07/2019
No he chequeado lo que pasa con las uniones/intersecciones finitas o nó, en general, lo que no creo que afecte al caso finito de conjuntos de generación.
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