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Autor Tema: Intersección entre elipse y parábola con puntos dados en (x;y)  (Leído 2773 veces)
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jpcarcedo
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« : 27/10/2018, 03:48:52 pm »

Hola!
No hago un problema como este en 25 años.

En un plano (x;y) tendo dos elementos: ELIPSE y PARÁBOLA.

Dispongo de los puntos siguienetes:

- ELIPSE: centro, [texx](0;0)[/texx]; vértices de ejes, [texx](1;0)[/texx] y [texx](0;1)[/texx]
- PARÁBOLA: vértice, [texx](1;0)[/texx]; puntos, [texx](0,8;0,2)[/texx] y [texx](0,7;0,4)[/texx]

¿Cómo traslado esos datos para hallar el punto de intesección?
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martiniano
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« Respuesta #1 : 27/10/2018, 07:36:48 pm »

Hola.

Una pregunta, ¿el problema se te ha planteado en un contexto de geometría analítica o proyectiva?

Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #2 : 27/10/2018, 07:57:18 pm »

Este mensaje está mal. Me equivoco en la dirección del eje de la parábola

Por si sirve de algo:

Conociendo alguna propiedad de las funciones cuadráticas, no es difícil darse cuenta de que el eje de la parábola es paralelo al eje de ordenadas, luego, al tener vértice en [texx](1,0)[/texx] ésta tendrá una ecuación del tipo: [texx]y=k(x-1)^2[/texx]. Substituyendo las coordenadas de uno de los puntos se obtiene [texx]k=5[/texx].

Por otro lado, la elipse es la circunferencia de ecuación; [texx]x^2+y^2=1[/texx]

Resolviendo el sistema se pueden obtener los puntos de corte. Lo que ocurre es que aún teniendo en cuenta que [texx](1,0)[/texx] es una solución del mismo, no parece que sea sencillo resolverlo por métodos algebraicos.

Saludos.

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jpcarcedo
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« Respuesta #3 : 27/10/2018, 08:17:42 pm »

Hola, Martiniano...
Primero, disculpe por no haberle respondido a la primera pregunta. No estaba conectado.
En segundo lugar, quiero agradecer encarecidamente su preocupación y su entrega.

Ha de saber que, si esos cálculos son tan sencillos como aparentan y dan el resultado correcto... me habrá ayudado a algo formidable.


Quede dicho aquí que, la parte referida a la intersección, que resuelve la incognita, es gracias a usted.
Muchísimas gracias de antemano.
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martiniano
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« Respuesta #4 : 28/10/2018, 05:52:31 am »

Hola. Muy buenos días.

No te preocupes, todavía puedes contestar. Parece que entonces es una solución algebraica lo que buscas. Lo que pasa es que ya te digo que el método es complicado, ya que el sistema del que hablo en la solución anterior se convierte en una ecuación de tercer grado. Lo que también imposibilita la opción de encontrar una respuesta "con regla y compás". ¿En qué contexto exactamente te surge la pregunta? ¿Se pueden utilizar métodos numéricos?

Saludos.
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jpcarcedo
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« Respuesta #5 : 28/10/2018, 06:07:06 am »

Hola, Martiniano, buenos días.
Y muchas gracias por tu ocupación en este asunto.

Es un dibujo y puedo hallar ese punto graficamente. Pero se supone que son dos trayectorias y tengo que justificar el resultado matemáticamente.
Sé que hay un punto de intesección en el vértice de la parábola y de uno de los ejes de la elipse, pero necesito la intersección de salida.
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martiniano
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« Respuesta #6 : 28/10/2018, 09:22:20 am »

Este mensaje es erróneo debido al error que cometí en la respuesta 2

Hola.

Pues eso, después de combinar las dos ecuaciones anteriores y simplificar la resultante queda que la abcisa de la intersección buscada cumple:

[texx]25x^3-75x^2+76x-24=0[/texx]

Y ahora tienes varias opciones:

Opción 1. Confiar en que la ecuación tenga solución racional e irla buscando por tanteo (o Ruffini).

Ten en cuenta, que debido a los cambios de signo de los coeficientes de la ecuación esta debe ser positiva. Además, el numerador debe ser divisor de [texx]24[/texx] y el denominador de [texx]25[/texx]. Como [texx]25[/texx] tiene 3 divisores y [texx]24[/texx] tiene [texx]8[/texx], pues deberás probar por [texx]8\cdot{3}=24[/texx] fracciones, sin que haya garantías de que alguna vaya a funcionar. No obstante, la raíz sí que es racional.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Opción 2. Utilizar métodos numéricos.

Saludos.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 28/10/2018, 09:45:38 am »

Hola

Pues eso, después de combinar las dos ecuaciones anteriores y simplificar la resultante queda que la abcisa de la intersección buscada cumple:

[texx]25x^3-75x^2+76x-24=0[/texx]
Opción 2. Utilizar métodos numéricos.

Martiniano: recuerda que los polinomios de tercer y cuarto grado pueden resolverse explícitamente sin problema (aunque las cuentas puedan dar la lata). No hacen falta métodos numéricos.  :guiño:

Aquí el método:

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado

aquí las fórmulas a lo bestia:

https://josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm

Por otra parte la ecuación [texx]y=5(x-1)^2[/texx] no pasa por el punto [texx](0.7,0.4)[/texx].

Me parece que la parábola que cumple lo pedido no tiene el eje paralelo a ninguno de los coordenados, lo cual da más la lata para hallarla.

Cuando tenga tiempo hago las cuentas.

Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #8 : 28/10/2018, 10:44:04 am »

Hola.

Martiniano: recuerda que los polinomios de tercer y cuarto grado pueden resolverse explícitamente sin problema (aunque las cuentas puedan dar la lata). No hacen falta métodos numéricos.  :guiño:

Sí claro, el método de los renacentistas italianos, ¿no?, lo conozco. Gracias igualmente. Lo que pasa es que no se lo he incluido en mi propuesta porque como aquí la solución es racional y los "chorizos" que proporciona el método algebraico son algo intratables, pues he pensado: ¿qué es más complicado demostrar que un "chorizo" de  esos es [texx]3/5[/texx], hacer el método de los italianos aproximando las expresiones esas con números decimales o aplicar directamente un método numérico? Y no sé porque me he inclinado por la tercera opción... Podría haberlo comentado, la verdad.

Por otra parte la ecuación [texx]y=5(x-1)^2[/texx] no pasa por el punto [texx](0.7,0.4)[/texx].

Me parece que la parábola que cumple lo pedido no tiene el eje paralelo a ninguno de los coordenados, lo cual da más la lata para hallarla.

!Ahí va! Aquí si que he metido la pata. No sé qué tipo de error hice para que me saliese que pasaba por ese punto... En fin, claramente no pasa. Pues nada, todo lo anterior a la basura...  :lengua_afuera: Pido disculpas por las confusiones que he podido ocasionar.

Saludos.
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Abdulai
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« Respuesta #9 : 28/10/2018, 02:08:31 pm »

Hola!
No hago un problema como este en 25 años.

En un plano (x;y) tendo dos elementos: ELIPSE y PARÁBOLA.

Dispongo de los puntos siguienetes:

- ELIPSE: centro, [texx](0;0)[/texx]; vértices de ejes, [texx](1;0)[/texx] y [texx](0;1)[/texx]
- PARÁBOLA: vértice, [texx](1;0)[/texx]; puntos, [texx](0,8;0,2)[/texx] y [texx](0,7;0,4)[/texx]

¿Cómo traslado esos datos para hallar el punto de intesección?

Me pregunto si los puntos  [texx](0,8;0,2)[/texx] y [texx](0,7;0,4)[/texx]  son los datos del problema o resultados a los que simplificaste decimales.

Si el punto   [texx](0,7;0,4)[/texx]  fuera en realidad   [texx](0,7;0,45)[/texx]  pertenecerían a la parábola  [texx]y=5(x-1)^2[/texx]  propuesta por Martiniano y se simplicaría el resultado.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #10 : 29/10/2018, 04:06:22 am »

Hola

Me pregunto si los puntos  [texx](0,8;0,2)[/texx] y [texx](0,7;0,4)[/texx]  son los datos del problema o resultados a los que simplificaste decimales.

Si el punto   [texx](0,7;0,4)[/texx]  fuera en realidad   [texx](0,7;0,45)[/texx]  pertenecerían a la parábola  [texx]y=5(x-1)^2[/texx]  propuesta por Martiniano y se simplicaría el resultado.

Si; antes de meterse en unas cuentas más prolijas sería bueno que verificases los datos y quizá que contextualizases un poco más la pregunta.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 20/07/2019, 09:19:08 am »

Hola, Luis Fuentes y Martiniano, quiero agradecerles encarecidamente que dieran respuesta a mis dudas.
Nunca recibí el correo, o lo borré accidentalmente, y no regresé.

Además, me he dedicado a hacer dibujos de gran escala porque algo no me cuadraba y descubrí que, aunque ligeramente, lo que parecía una parábola, no lo era. Serpenteaba de una forma casi imperceptible.

Voy a compartir con ustedes de manera privada lo que he hallado a este respecto.
Reciban un cordial saludo.
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martiniano
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« Respuesta #12 : 20/07/2019, 10:09:33 am »

Hola jpcarcedo.

Yo lo que te recomiendo es que subas tus avances en público, ya que así habrá más gente interesada en el problema que te podrá ayudar a avanzar.

No debes tener miedo a equivocarte. Todos cometemos errores en el foro, es algo que pasa bastante a menudo y, si no se hace con mala intención, no se penaliza. De hecho, es que si se penalizase, se iría en contra del proceso de aprendizaje y, obviamente, todos saldríamos perdiendo.

Un saludo.

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« Respuesta #13 : 20/07/2019, 11:56:11 am »

Muchísimas gracias, Martiniano.
Si tuviera temor a equivocarme, no habría expuesto jamás mis propuestas :cara_de_queso:
Recibe un saludo y reitero mi agradecimiento por todo el esfuerzo y la dedicación con el que me has ayudado estos años.

Un abrazo.
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martiniano
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« Respuesta #14 : 20/07/2019, 12:04:46 pm »

Hola.

Sí, disculpa, es que me he confundido con otro usuario que me hablaba por privado por esas razones.

Entonces, ¿por qué no pones aquí lo que has sacado? Me temo que yo no puedo ayudarte pues no entiendo casi nada de lo que me escribes por privado. Si te da miedo que te roben una idea o algo así, yo pienso que publicarla en el foro te da muchos testigos a tu favor, aunque no entiendo mucho del tema, la verdad.

Bueno, y gracias por la confianza que me tienes, de verdad que no es para tanto. Un saludo.
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jpcarcedo
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« Respuesta #15 : 20/07/2019, 12:13:10 pm »

No temo que lo roben... ya expuse la clave hace 2 años. Nadie le dio importancia porque mi error de fondo era grueso.

Sin embargo, es la base para el logro actual.

Lo tengo publicado en mi blog, en youtube, en twitter y facebook. :cara_de_queso:
Es público...
No obstante, te haré caso.
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