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Autor Tema: Derivabilidad en extremos  (Leído 182 veces)
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DavidTarifa
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« : 10/07/2019, 03:16:46 pm »

Hola.

Si tengo una función [texx]f(x)[/texx] definida en [texx][a,b][/texx], continua en [texx][a,b][/texx] y derivable en [texx](a,b)[/texx], ¿puedo decir algo de su derivabilidad en [texx]a[/texx] o en [texx]b[/texx]?

Entiendo que no porque tendría que estar definida en un entorno de [texx]a[/texx] y de [texx]b[/texx] para poder decir algo de su derivabilidad en esos puntos, pero me he encontrado un texto en el que actúan de otra manera y me ha creado dudas.

Gracias de antemano.
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Buscón
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« Respuesta #1 : 10/07/2019, 04:34:54 pm »

Hasta donde yo sé la derivabilidad es una propiedad local.

Definición.

Se dice que una función    [texx]f:I\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en un punto    [texx]a\in{I}[/texx],    si existe el límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}[/texx]


Lo primero que se me ocurre es que, al decir    [texx]f[/texx]    es derivable en    [texx](a,b)[/texx]    como    [texx]a\not\in{(a,b)}[/texx]    no tiene sentido hablar de derivabilidad en    [texx]a[/texx].

Podría pasar cualquier cosa dependiendo del comportamiento de la función en el entorno del punto    [texx]a[/texx].    Pero entonces se estaría hablando de la derivabilidad de la función en    [texx](a-\delta, a+\delta)[/texx].    Podríamos volver a hacer la pregunta. ¿Que pasa en los puntos    [texx]a-\delta[/texx],    [texx]a+\delta[/texx]? Y así sucesivamente. 

Yo creo que la propia definición imposibilita considerar la derivabilidad de una función en un intervalo cerrado,    (... en un punto    [texx]a\in{I}[/texx],...).    A ver que opinan los expertos.

Saludos.
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DavidTarifa
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« Respuesta #2 : 12/07/2019, 07:17:31 am »

Cita
Yo creo que la propia definición imposibilita considerar la derivabilidad de una función en un intervalo cerrado

Eso es lo que yo creo.

Buscaba confirmación.

A ver si tengo suerte y alguien lo confirma.

Gracias igualmente por tu respuesta Buscón  :sonrisa:
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geómetracat
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« Respuesta #3 : 12/07/2019, 03:30:40 pm »

Estaría bien que pusieras un contexto, qué pone exactamente el libro y qué entienden por derivada en un extremo.

Normalmente se define la derivabilidad para puntos en el interior del dominio de una función (en este caso, en el intervalo abierto), pero en ocasiones se extiende a otras situaciones.

Por ejemplo, en algunos contextos es habitual decir que una función es derivable en un punto de la frontera de su dominio (en este caso, en un extremo del intervalo cerrado) si existe una extensión de la función a un abierto conteniendo el punto de la frontera en su interior y esta extensión es derivable en ese punto. En el caso que nos interesa, esto es decir que [texx]f:[a,b] \rightarrow \Bbb R[/texx] es derivable en [texx]a[/texx] si existe algún [texx]\epsilon >0[/texx] y una función [texx]g: (a- \epsilon, b] \rightarrow \Bbb R[/texx] que es derivable en [texx]a[/texx] y que cumple [texx]g|_{[a,b]} = f[/texx].

Otra cosa que se suele hacer en el caso unidimensional es definir derivadas laterales en los extremos. Es decir, podemos definir la derivada de [texx]f[/texx] por la derecha en [texx]a[/texx] como:
[texx]\displaystyle f'(a+) = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(a+h)- f(a)}{h}[/texx]
y la derivada de [texx]f[/texx] por la izquierda en [texx]b[/texx] de manera similar.
y de manera parecida la derivada lateral  por la izquierda en [texx]b[/texx], [texx]f'(b-)[/texx].
Estos limites laterales pueden existir o no. Si existen se dice que la función es derivable por la derecha (resp. por la izquierda) en [texx]a[/texx] (resp. en [texx]b[/texx]).
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #4 : 12/07/2019, 05:07:30 pm »

El único valor local es el valor que toma la función, los límites y las derivadas son valores que dependen del entorno y pueden por lo tanto tomarse los valores laterales, tanto el límite como la derivada pueden calcularse por la derecha y por la izquierda, y dependiendo de los valores que adopte cada uno de ellos se obtienen propiedades distintas para las funciones.

El criterio mas general creo yo cuando estamos en los extremos del intervalo de definición es que basta que existan los límites laterales correspondientes al extremo para considerar que la función sea continua o derivable, aunque es mejor explicar bien el asunto para que no haya dudas. Por ejemplo, en el intervalo [texx][a,b][/texx] al considerar la continuidad o la derivabilidad en [texx]a[/texx] bastaría considerar solo el valor de la función en [texx]a[/texx] y sus limites por la derecha. Lo mismo en [texx]b[/texx] pero considerando ahora los límites por la izquierda. Aunque conviene siempre explicar bien el asunto para no dejar dudas en el tintero.

Una función definida en [texx][a,b][/texx]:

sería continua en [texx]a[/texx] si [texx]f(a)=\displaystyle\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a+)[/texx]

sería continua en [texx]b[/texx] si [texx]f(b)=\displaystyle\lim_{x \to b^-}f(x)=f(b-)[/texx]

sería derivable en [texx]a[/texx] si existe [texx]\displaystyle f'(a+) = \lim_{h \rightarrow 0+} \frac{f(a+h)- f(a)}{h}[/texx] la derivada por la derecha

sería derivable en [texx]b[/texx] si existe [texx]\displaystyle f'(b-) = \lim_{h \rightarrow 0-} \frac{f(b+h)- f(b)}{h}[/texx] la derivada por la izquierda.

aunque según creo este criterio no es general y no todos los autores lo aplican.

Salu2



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« Respuesta #5 : 12/07/2019, 06:05:07 pm »

Es un ejercicio de selectividad de 2018 de Andalucía, no depende de un libro concreto.



Y, por ejemplo, en el libro de texto de Angélica Escoredo y otros de Santillana: "Matemáticas II 2 Bachillerato" nombran que la derivada existe si existen las derivadas laterales y coinciden. En el equivalente de Roberto Rodriguez de McGraw Hill no nombra para nada los extremos y por supuesto hay otras editoriales y autores con sus propias interpretaciones y entrando en más o menos profundidad cada uno.  :BangHead: :BangHead: :BangHead:

Y puesto que la función del ejercicio en concreto no está definida a la izquierda de 0 ni a la derecha de 50... Pues en fin, buscaba si hay consenso respecto a la definición de la derivada en los extremos de una función definida en un intervalo cerrado, pero supongo que en este ejercicio concreto no han afinado demasiado por haber diferentes posibles interpretaciones.

Mi interpretación está en el archivo adjunto.

Gracias por vuestras respuestas.

* selectividad.png (21.86 KB - descargado 111 veces.)
* Selectividad_2018_Septiembre_CCSS_OpB.pdf (148.66 KB - descargado 6 veces.)
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« Respuesta #6 : 13/07/2019, 05:43:07 am »

En este contexto, yo diría que no hay que decir nada de los extremos, es decir, que solamente hay que mirar la derivabilidad en [texx](0,50)[/texx]. Normalmente en selectividad no son tan rebuscados como para pedirte derivadas laterales en los extremos y demás. De todas formas, para estar seguro quizás lo mejor sería preguntar a alguien encargado del examen. Supongo que puedes enviar un correo al organismo que se encargue de elaborar los exámenes de matemáticas de selectividad en Andalucía a ver qué te dicen.

Otro tema: en el pdf, cuando miras la derivabilidad en [texx]40[/texx], lo que haces no está bien estrictamente hablando.
Para mirar la derivabilidad en un punto, debes calcular el límite que aparece en la definición de derivada, no calcular la derivada fuera de ahí y luego hacer el límite. Esto es así porque la derivada de una función derivable no es necesariamente continua.
Por ejemplo, la función
[texx] f(x)=\begin{cases} x^2 \sin(1/x) & \text{si}& x \neq 0\\0& \text{si}& x =0\end{cases}[/texx]
es derivable en todas partes (en particular en [texx]0[/texx]) pero [texx]\lim_{x \rightarrow 0} f'(x)[/texx] no existe.

En las funciones típicas de selectividad, lo que haces funciona porque son funciones sencillas cuya derivada es continua, en caso de que sean derivables, pero es importante sabee que te puedes encontrar con problemas.
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« Respuesta #7 : 14/07/2019, 12:27:06 am »

¿Cómo resolver el conflicto para la función valor absoluto?

Al considerar el intervalo     [texx][-1,0][/texx]    la función es continua en dicho intervalo y puede parecer que derivable en él, parece obvio que su derivada es constante e igual a    [texx]-1.[/texx]

Análogamente en el intervalo    [texx][0,1][/texx],    se podría decir que su derivada es constante e igual     [texx]1[/texx].

Sin embargo al considerar el intervalo    [texx][-1,1][/texx]    la función valor absoluto no es derivable en    [texx]x=0[/texx].   No coinciden las derivadas laterales, no puede tener dos derivadas distintas en el mismo punto. La derivada de una función en un punto, si existe, debería ser única, es el ritmo de cambio instantáneo de una función .


Podría ser un buen motivo para considerar la derivabilidad sólo en abiertos.  :indeciso:

Saludos.
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« Respuesta #8 : 14/07/2019, 07:40:07 am »

En este contexto, yo diría que no hay que decir nada de los extremos, es decir, que solamente hay que mirar la derivabilidad en [texx](0,50)[/texx].

Es lo que yo pienso. Pero como en el enunciado dice expresamente "Estudie en el intervalo [texx][0,50][/texx]", por eso tantas vueltas a lo mismo.  :sonrisa_amplia:
Intentaré contactar con los responsables, (no se si será fácil), a ver que dicen.

Otro tema: en el pdf, ...
Gracias por el comentario. Pero este documento está orientado a servir de ayuda a los alumnos que van a examinarse, y por tanto está escrito según su grado de conocimiento y lo que se espera de ellos en el examen. Más orientado a ser didáctico a ese nivel que a ser preciso. Pero también me gusta intentar ser preciso y por eso lo comentaba aquí donde hay gente con más conocimiento que yo en el tema.

Coincido contigo, Buscón. Para mi tiene poco sentido considerar la derivada en un intervalo cerrado. Pero como ya ha comentado más de uno, podemos también definirlo mediante límites laterales y sería coherente.

Gracias a todos por los aportes. :sonrisa:
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« Respuesta #9 : 14/07/2019, 02:05:03 pm »

Coincido contigo, Buscón. Para mi tiene poco sentido considerar la derivada en un intervalo cerrado. Pero como ya ha comentado más de uno, podemos también definirlo mediante límites laterales y sería coherente.

La derivada en el punto    [texx]a[/texx]    de la función     [texx]f[/texx]    es precisamente el    [texx]\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}[/texx],    pero también determina la pendiente de la recta tangente a la función    [texx]f[/texx]    en el punto    [texx]\Big(a,f(a)\Big)[/texx].     

Teniendo en cuenta que la recta tangente a una curva por un punto es única, el límite anterior debe ser el mismo por la izquierda que por la derecha para poder decir que la derivada existe. Esto sólo es posible deducirlo para puntos del interior del intervalo donde está definida la función.

Es decir, es obligado saber el comportamiento por la derecha y por la izquierda del punto que se considere para poder decir algo sobre la derivada y/o pendiente de la recta tangente en dicho punto, por lo tanto el/los puntos considerados deben pertenecer al interior del intervalo de definición.

Eso creo de momento  :sonrisa:

Saludos.


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« Respuesta #10 : 14/07/2019, 03:16:30 pm »

Estamos de acuerdo en que esa es una de las posibles interpretaciones, pero la cuestión es que no es la única posible. Una función definida unicamente en el intervalo [a,b] puede tener derivada en ambos extremos si la interpretación aplicada es la correspondientes a los límites laterales, e incluso es posible dar una interpretación geométrica mediante la tangente a la gráfica de la función. ¿Tiene sentido para alguien que se pida calcular un límite en una región en que la función ni siquiera está definida? ¿Puede aceptarse cualquiera de las interpretaciones? En mi opinión si, siempre que se apliquen los conceptos con la debida prudencia pero no es esa la cuestión, sino si alguna de ellas lleva a contradicción. Evitar el cálculo de los límites en los extremos del intervalo evita algunos problemas pero plantea otros. Yo no sé cual es la interpretación correcta, pero creo que ambas parecen ser aplicables en principio.
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« Respuesta #11 : 14/07/2019, 11:18:16 pm »

Estamos de acuerdo en que esa es una de las posibles interpretaciones, pero la cuestión es que no es la única posible. Una función definida unicamente en el intervalo [a,b] puede tener derivada en ambos extremos si la interpretación aplicada es la correspondientes a los límites laterales

Efectivamente, el problema se plantea por que no es posible calcular    [texx]\displaystyle\lim_{x \to{a}\\x<a}{\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}[/texx]    para poder compararlo con    [texx]\displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}[/texx]    y verificar si coinciden cuando    [texx]a=\min(I)[/texx]

Y claro, estrictamente hablando, el que sea    [texx]a=min(I)[/texx]   no impide que se verifique la

Definición.

Se dice que una función    [texx]f:I\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en un punto    [texx]a\in{I}[/texx],    si existe el límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}[/texx]


para todo    [texx]x\in{I}[/texx].

Para    [texx]a=\max(I)[/texx]    el razonamiento es análogo.

Menudo lío. Al final las matemáticas no son tan precisas como cabría esperar.

Lo que si es cierto es que en casi todas los teoremas de máximos, mínimos, concavidad..., las hipótesis son     "[texx]f[/texx]   continua en    [texx][a,b][/texx]    y derivable en    [texx](a,b)[/texx]"

Saludos.


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