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Autor Tema: Calcular la función  (Leído 377 veces)
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« : 15/07/2019, 04:24:13 pm »

Hola foro.
En un ejercicio del un totalizador aparece el siguiente enunciado:

Calcula [texx] f(x), f(x)>0\textrm{ } \forall{x}\in{R}[/texx], sabiendo que [texx]f(x)[/texx] satisface

[texx] \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt[]{f(x)}} = x^3 [/texx]
y [texx]f(0)=1[/texx]

A mi se me ocurrió hacer la integral de ambos lados entonces me quedaría

[texx]2\sqrt[]{f(x)} = \dfrac{x^4}{4}[/texx]
luego
[texx]f(x) = \dfrac{x^8}{64}[/texx]

entonces la primera condición se cumple pero no la segunda [texx]f(0)=1[/texx], se me ocurrió agregarle un +1 remplazando el +C del resultado de la integral pero de esa manera no se vuelve a cumplir la primera condición.

Gracias de antemano al que me pueda ayudar y adjunto una captura del enunciado.

Saludos.

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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 15/07/2019, 04:44:57 pm »

Si haces la integral en los dos lados te queda:
[texx]\displaystyle \int_0^x \dfrac{f'(t)}{\sqrt{f(t)}} \ dt = \int_0^x t^3 \ dt [/texx]
[texx]2 \cdot \sqrt{f(x)} - 2 \cdot \sqrt{f(0)} = 2 \cdot \sqrt{f(x)} - 2 = \dfrac{x^4}{4} [/texx] y sigue...
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« Respuesta #2 : 15/07/2019, 05:03:54 pm »

Si haces la integral en los dos lados te queda:
[texx]\displaystyle \int_0^x \dfrac{f'(t)}{\sqrt{f(t)}} \ dt = \int_0^x t^3 \ dt [/texx]
[texx]2 \cdot \sqrt{f(x)} - 2 \cdot \sqrt{f(0)} = 2 \cdot \sqrt{f(x)} - 2 = \dfrac{x^4}{4} [/texx] y sigue...

Perdón todavía no vi ese tipo de integrales con x arriba y 0 abajo pero supongo que es lo mismo.

yo hice la integral de esta manera:

[texx]\int_ 0^x \dfrac{f^{\prime}(x)}{\sqrt[]{f(x)}}dx[/texx]

Remplazo [texx]f(x)[/texx] con [texx]Z[/texx] entonces [texx]dx = \dfrac{dz}{f^{\prime}(x)}[/texx]
se cancelan las [texx]f^{\prime}(x)[/texx]

[texx] \int_ 0^x \dfrac{1}{\sqrt[]{z}}dz [/texx]

[texx] \int_ 0^x  z^{-1/2} dz [/texx]

Resuelvo la integral

[texx]2\sqrt[ ]{z}[/texx]

[texx]2\sqrt[ ]{f(x)}[/texx]

eso lo iguale a la integral de [texx]x^3[/texx] y seguí de ahí.
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ingmarov
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« Respuesta #3 : 15/07/2019, 05:05:41 pm »

Si, al integrar, agregas la constante de integración c=1 ya te resultará

Saludos
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« Respuesta #4 : 15/07/2019, 05:26:30 pm »

Si, al integrar, agregas la constante de integración c=1 ya te resultará

Saludos

no te entiendo,

[texx]\dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}}} = x^3 [/texx]
en este caso esta bien pero si le agrego el +1
[texx]\dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}+1}}[/texx]
ya no es igual a [texx]x^3[/texx]
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« Respuesta #5 : 15/07/2019, 05:38:12 pm »

Si, al integrar, agregas la constante de integración c=1 ya te resultará

Saludos

no te entiendo,

[texx]\dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}}} = x^3 [/texx]
en este caso esta bien pero si le agrego el +1
[texx]\dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}+1}}[/texx]
ya no es igual a [texx]x^3[/texx]

Había olvidado el 2 que pongo en rojo

[texx]{\bf\color{red}2}\sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{4}+c[/texx]

Dividimos todo entre 2, nos queda

[texx]\sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{8}+c/2[/texx]        y. dado que f(0)=1. Entonces c=2

[texx]\sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{8}+1[/texx]

[texx]\therefore f(x)=\dfrac{x^8}{64}+\dfrac{x^4}{4}+1[/texx]

Saludos
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« Respuesta #6 : 15/07/2019, 06:32:05 pm »

Si, al integrar, agregas la constante de integración c=1 ya te resultará

Saludos

no te entiendo,

[texx]\dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}}} = x^3 [/texx]
en este caso esta bien pero si le agrego el +1
[texx]\dfrac{\frac{x^7}{8}}{\sqrt[]{\frac{x^8}{64}+1}}[/texx]
ya no es igual a [texx]x^3[/texx]

Había olvidado el 2 que pongo en rojo

[texx]{\bf\color{red}2}\sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{4}+c[/texx]

Dividimos todo entre 2, nos queda

[texx]\sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{8}+c/2[/texx]        y. dado que f(0)=1. Entonces c=2

[texx]\sqrt{f(x)}=\dfrac{x^4}{8}+1[/texx]

[texx]\therefore f(x)=\dfrac{x^8}{64}+\dfrac{x^4}{4}+1[/texx]

Saludos


muchísimas gracias.

 Aplauso Aplauso Aplauso

Esa es la solución.
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