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Autor Tema: Armando algunos conceptos en álgebra abstracta  (Leído 546 veces)
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Fernando Moreno
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« : 09/07/2019, 12:10:54 pm »

Hola,

Hola a todos. Tengo el siguiente enunciado tomado del Álgebra Abstracta de John B. Fraleigh:

Sea [texx]H[/texx] un subgrupo normal de un grupo finito [texx]G[/texx] y sea [texx]m=(G:H)[/texx]. Muéstrese que [texx]a^m\in{H}[/texx] para todo [texx]a\in{G}[/texx]

Yo he pensado esto:

Al ser [texx]m[/texx] el orden de [texx]G/H[/texx] y [texx]H[/texx] su elemento neutro tenemos que para todo [texx]a\in{G}[/texx] se cumple [texx]H=(aH)^m=a^mH[/texx], por tanto [texx]a^m\in{H}[/texx].

Tengo dudas porque no he utilizado el hecho de que [texx]G[/texx] sea finito. ¿Qué opináis?

Un saludo y gracias.

Me interesa comentar este hilo de martiniano porque me ofrece dudas y para concretar distintos conceptos que he ido cogiendo por internet y que tengo dispersos.

No entiendo cuando dice que:  [texx]H=(aH)^m[/texx] .  H  es  H .  Sí entendería más que:  [texx]G/H=(aH)^m[/texx] .  ¿Aunque no sería más bien que:  [texx](aH)^m\in{G/H}[/texx] ?  Pongo un ejemplo concreto que es como lo entiendo mejor:  [texx]Z/7Z[/texx] .  Su índice es 7.  7Z  divide a  Z  en 7 cosets (no sé cuál es la traducción correcta en castellano). Están: 7Z ,  1+7Z , 2+7Z , .. , 6+7Z .  Entonces  [texx]7Z\in{Z/7Z}[/texx]  y  [texx](7Z)^7\in{Z/7Z}[/texx] .  Otra cosa que no acabo de ver es lo del elemento neutro.  7Z  es el elemento identidad del grupo  Z/7Z ;  pues es un grupo a parte porque  7Z  es un subgrupo normal de  Z .  Ese elemento identidad es 0 si el grupo de partida está definido sobre la suma, como es en el ejemplo; pero si no habría que especificarlo y no se hace arriba. Pero entonces no sigo el resto de la demostración. martiniano parece actuar como si el elemento identidad fuera Z .  Agradecería mucho una explicación sobre el ejemplo que he puesto que creo que es válido aunque  Z  sea infinito. Disculpas si mezclo mucho churras con merinas. Estoy aprendiendo.

Un saludo,
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  El mal es malo también para sí mismo. Por eso, a la larga, sólo puede triunfar el bien. Y por eso también la libertad es buena y deseable..  F. Moreno 
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« Respuesta #1 : 09/07/2019, 12:40:46 pm »

Hola.

Es decir, quieres que se adapte la demostración a un caso particular. Te recomiendo que prestes atención a la confusión que puede surgir a raíz de usar diferentes notaciones: multiplicativa o aditiva.

No entiendo cuando dice que:  [texx]H=(aH)^m[/texx] .

En el caso particular tenemos:

[texx]G=\mathbb{Z}[/texx]
[texx]H=7\mathbb{Z}=\{0,7,14,...\}[/texx].
[texx]m=7[/texx]

La sentencia que dices no entender, en notación aditiva y adaptada a tu caso particular, sería que para todo [texx]a\in{\mathbb{Z}}[/texx] se cumple que [texx]7\mathbb{Z}=7(a+7\mathbb{Z})=7a+7\mathbb{Z}[/texx]

¿Lo ves ahora más claro? Un saludo.
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Fernando Moreno
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« Respuesta #2 : 09/07/2019, 12:58:44 pm »

Hola, sigo sin verlo. Luego esta tarde escribo mejor, ahora estoy en una piscina en un hotel. Pero en Z/7Z también está 8=7+1. Es uno de los cosets. Saludos
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« Respuesta #3 : 09/07/2019, 04:34:32 pm »

Hola,

En el caso particular tenemos:

[texx]G=\mathbb{Z}[/texx]
[texx]H=7\mathbb{Z}=\{0,7,14,...\}[/texx].
[texx]m=7[/texx]

Te comento lo que no entiendo. Tú dices: que para todo " a " pertenciente a  Z  se cumple  [texx]7Z=(a 7Z)^7[/texx] .  Y que esto es así porque 7 es el índice de  Z/7Z  y  7Z  su elemento neutro.

Ten en cuenta que el ejemplo que pongo no es cualquiera. Es en cierto modo es el ejemplo canónico  [texx](Z/nZ)[/texx]  de un grupo factor (o por lo menos lo he estudidado así).

Un saludo,
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« Respuesta #4 : 09/07/2019, 06:09:37 pm »

Lo que dice martiniano, y tu problema, es quencon grupos aditivos debes usar notación aditiva. La operación de grupo en [texx]\Bbb Z[/texx], que es la única que importa aquí, es la suma.
Entonces, en tu ejemplo se traduce en que para todo [texx]a \in \Bbb Z[/texx], [texx]7(a + 7\Bbb Z) = 7 \Bbb Z[/texx], que es verdad (y lo mismo que te puso antes martiniano).

Aquí el producto o las potencias de enteros no pintan nada.
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« Respuesta #5 : 09/07/2019, 06:34:46 pm »

Hola,

Ok, quizás no atendí bien a la respuesta de martiniano. Pero sí que me gustaría entender la fórmula:  [texx]H=(aH)^m[/texx] .  ¿ [texx](aH)^m[/texx]  es otra forma equivalente de expresar H ? ¿Por qué?
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« Respuesta #6 : 09/07/2019, 06:43:48 pm »

Hola.

La fórmula es un caso particular de un teorema que  indica que si se repite la operación de un grupo sobre uno de sus elementos consigo mismo un número de veces igual al orden del grupo se obtiene el elemento neutro. ¿Conoces ese teorema?

En tu caso, si un entero lo sumas siete veces consigo mismo obtendrás un múltiplo de siete.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 09/07/2019, 06:54:46 pm »

Ahh ok, no lo conozco no, ni idea; yo sólo conozco lo más básico pero por alguna parte tenía que empezar para tratar de poner en práctica lo aprendido y te ha tocado a tí jeje . Un saludo y gracias
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« Respuesta #8 : 09/07/2019, 06:55:24 pm »

Bueno, es de lo que iba el ejercicio.  :guiño:

Usando notación multiplicativa, si [texx]G[/texx] es un grupo y [texx]H[/texx] un subgrupo normal, entonces [texx]G/H[/texx] es un grupo (el grupo cociente). Sus elementos son los cosets de la forma [texx]gH[/texx] para algún [texx]g \in G[/texx] y la operación de grupo en [texx]G/H[/texx] viene dada por:
[texx](gH)(g'H) = gg'H[/texx]
donde [texx]gg'[/texx] es el producto de los elementos en [texx]G[/texx].
En particular, el elemento neutro de [texx]G/H[/texx] es [texx]H[/texx] (que es lo mismo que [texx]eH[/texx] donde [texx]e[/texx] es el elemento neutro de [texx]G[/texx]). En efecto, [texx]H(gH) = (eH)(gH) = egH = gH[/texx] e igualmente [texx](gH)H = gH[/texx].
Además, el orden de [texx]G/H[/texx] es el índice [texx](G:H)[/texx].

¿Todo esto lo tienes más o menos claro? Son hechos básicos sobre grupos cocientes.

Si tienes esto claro, ahora la observación clave es que en un grupo cualquiera el orden de cualquier elemento divide al orden del grupo. Esto es consecuencia del teorema de Lagrange. Entonces, si [texx]g \in G[/texx] es cualquier elemento, [texx]gH \in G/H[/texx]. Pero [texx](gH)^m = g^mH[/texx]. Si [texx]m=(G:H)[/texx], entonces como hemos dicho antes, [texx]|G/H| = m[/texx]. Luego el orden de [texx]gH[/texx] divide a [texx]m[/texx] y [texx]g^mH = (gH)^m = H[/texx]. Pero si [texx]g' \in G[/texx], [texx]g'H =H[/texx] si y solo si [texx]g' \in H[/texx]. Luego [texx]g \in H[/texx] y esto acaba la prueba.

PD: Se adelantó martiniano.
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« Respuesta #9 : 09/07/2019, 07:11:54 pm »

Hola. Sí lo que dices lo conocía, el teorema de Lagrange y lo de los grupos cociente. Es cierto que me he liado un poco con lo del elemento neutro, en inglés se habla siempre de "identity element" y esa tontería me ha distraído un poco. No obstante para comprender la última parte tengo que estudiarla un poco, ya mañana. Una cosa es conocer el teorema de Lagrange y otra aplicarlo. Me falta saber cómo operan las divisiones entre índices pero eso mañana lo arreglo. Gracias a ti y a martiniano. Un saludo,
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« Respuesta #10 : 10/07/2019, 02:50:37 am »

Ok. Si tienes cualquier duda no dudes en preguntar de nuevo.
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« Respuesta #11 : 10/07/2019, 06:15:39 pm »

Hola,

Me cuesta entender esto:  [texx]g^mH=(gH)^m=H[/texx] ; para:  [texx]\left |{G:H}\right |=m[/texx]

¿Puede ser este el razonamiento? :  Como el índice de  [texx]G:H[/texx]  es " m ", significa que el orden de H ,  que es el que divide a  G , es  m .  Luego:  [texx]g^mH=(gH)^m[/texx] .  Luego parece que  [texx](gH)^m[/texx]  es siempre la unidad (identidad) = H . ¿Podéis ponerme un ejemplo concreto de esto último en un grupo cociente finito?

Gracias de antemano
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« Respuesta #12 : 11/07/2019, 05:04:48 am »

Hola.

Revisa esto porque no es cierto:

Como el índice de  [texx]G:H[/texx]  es " m ", significa que el orden de H ,  que es el que divide a  G , es  m . 

Lo que significa [texx](G:H)=m[/texx] es que el orden (o cardinal) de [texx]G/H[/texx] es [texx]m[/texx]. Después, por el teorema de Lagrange se tiene que el orden de todo [texx]aH\in{G/H}[/texx] divide a [texx]m[/texx], y ten cuidado, aquí orden no significa cardinal, sinó el menor [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx](aH)^n=H[/texx]. Después, si el orden de [texx]aH[/texx] es [texx]n[/texx] y existe [texx]k\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]m=n\cdot{k}[/texx] se tiene que [texx](aH)^m=((aH)^n)^k)=H^k=H[/texx]

¿Cómo lo ves ahora? Un saludo.
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« Respuesta #13 : 11/07/2019, 12:20:25 pm »

Hola martiniano. Veo que tengo más lagunas de las que pensaba. Seguiré estudiando mejor y ya iré preguntando lo que no vea. Necesito más base teórica. Gracias y un saludo,
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