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Autor Tema: limit with summation  (Leído 227 veces)
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jacks
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« : 09/07/2019, 11:28:56 am »

Evaluation of [texx]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{\ln x}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2 x+n}[/texx]
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 09/07/2019, 01:44:41 pm »

Hello,

For any [texx]x>0[/texx], the function [texx]f(t):=\dfrac{1}{t^2x+t}[/texx] is decreasing on [texx][1,\infty)[/texx]. Hence, using the bounds from the integral test, we get

[texx]\displaystyle\int_1^\infty f(t)dt \le \sum_{n=1}^\infty f(n) \le f(1)+\int_1^\infty f(t)dt[/texx]

Integrating and multiplying by [texx]\dfrac{1}{\ln x}[/texx] for [texx]x \in (0,1)[/texx] we get

[texx]\displaystyle\dfrac{1}{(x+1)\ln x}+\dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1 \le \dfrac{1}{\ln(x)}\sum_{n=1}^\infty f(n) \le \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1.[/texx]

Letting [texx]x\to 0^+[/texx] we get that the desired limit is -1.
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jacks
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« Respuesta #2 : 25/08/2019, 05:16:50 pm »

Thanks moderator.
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