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Autor Tema: El problema (estocástico) de la rana  (Leído 556 veces)
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« : 09/07/2019, 11:09:39 am »

El siguiente problema ha sido una de las motivaciones principales (aunque no la única) para que empezase a estudiar matemáticas hace unos años. Yo lo llamo el problema de la rana, ahora sabrán por qué.

Sea una rana en un plano (en el suelo, vamos), con una distancia de salto fija (es decir, siempre salta la misma distancia), y cada vez que salta la dirección es elegida al azar (es decir, uniformemente). Entonces las preguntas que me hago son las siguientes:

1. Después de [texx]n[/texx] saltos, ¿cuál es la probabilidad de que la distancia al punto de partida sea menor a un valor dado? (Es decir: ¿cuál es la distribución de probabilidad de la distancia al origen?)

2. Después de [texx]n[/texx] saltos, ¿cuál es la distancia media esperada respecto al origen?

3. ¿A qué tiende la distancia media conforme [texx]n[/texx] tiende a infinito?

Este ejercicio es algún tipo de proceso estocástico browniano o similar (aún no he tenido tiempo para estudiar procesos estocásticos, así que mi capacidad de análisis del problema es muy limitada). A lo más que he llegado es a tener una idea del proceso, cómo se desarrolla.

Spoiler: esto estaba MUY erróneo (click para mostrar u ocultar)

¿Alguien más se atreve a atacar (ya sea una aproximación analítica) el problema?

CORRECCIÓN: ufff... he cometido un error gordísimo en el planteamiento anterior (ahora en el spoiler)... y es que estaba considerando que los saltos dependían de una única variable aleatoria, cuando cada salto es independiente del anterior. En verdad la variable aleatoria que define la posición de la rana en el plano después de [texx]n[/texx] saltos es la suma de [texx]n[/texx] variables aleatorias [texx]e^{i X}[/texx] idénticamente distribuidas, entonces la variable aleatoria que rige la distancia después de [texx]n[/texx] saltos viene dada por

[texx]\displaystyle Y_n:=\left|\sum_{k=1}^n e^{i X_k}\right|,\quad\text{donde } X_k\sim U[0,2\pi]\text{ i.i.d.}[/texx]

En relación al desarrollo erróneo anterior tenemos también la identidad [texx]Y_{n+1}=\|Y_n+e^{i X_{n+1}}\|_2[/texx]. La distribución de [texx]\sum_{k=1}^n e^{i X_k}[/texx] tiende a una binormal conforme [texx]n[/texx] aumenta, de ahí deducimos que la respuesta del punto 3 del problema es cero.
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« Respuesta #1 : 09/07/2019, 03:29:24 pm »

Hola.

Interesante problema. Hay una cosa que nos da bastante información sobre [texx]d_n[/texx]: la distancia de la rana al origen después del salto [texx]n[/texx]. Supongamos que la rana se halla a una distancia [texx]d_n[/texx] del origen y pega un salto de longitud [texx]L[/texx] para acabar hallándose a una distancia [texx]d_{n+1}[/texx]. Si [texx]\theta=U(0,2\pi)[/texx] es el ángulo que forma la posición de la rana antes del salto con la dirección hacia la que salta la rana tenemos, por el teorema del coseno, que:

[texx]d_{n+1}^2=d_n^2+L^2-2L\cdot{}d_n\cos\theta[/texx]

Tomando esperanzas:

[texx]E[d_{n+1}^2]=E[d_n^2]+L^2-2L\cdot{}E[d_n]E[\cos\theta]=E[d_n^2]+L^2[/texx]

Como [texx]E[d_{1}^2]=L^2[/texx] por inducción se tiene [texx]E[d_n^2]=L^2n[/texx]

Esto serviría para contestar al apartado 3. La esperanza tiende a infinito. Un saludo.
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« Respuesta #2 : 09/07/2019, 03:46:07 pm »

Hola.

Interesante problema. Hay una cosa que nos da bastante información sobre [texx]d_n[/texx]: la distancia de la rana al origen después del salto [texx]n[/texx]. Supongamos que la rana se halla a una distancia [texx]d_n[/texx] del origen y pega un salto de longitud [texx]L[/texx] para acabar hallándose a una distancia [texx]d_{n+1}[/texx]. Si [texx]\theta=U(0,2\pi)[/texx] es el ángulo que forma la posición de la rana antes del salto con la dirección hacia la que salta la rana tenemos, por el teorema del coseno, que:

[texx]d_{n+1}^2=d_n^2+L^2-2L\cdot{}d_n\cos\theta[/texx]

Tomando esperanzas:

[texx]E[d_{n+1}^2]=E[d_n^2]+L^2-2L\cdot{}E[d_n]E[\cos\theta]=E[d_n^2]+L^2[/texx]

Como [texx]E[d_{1}^2]=L^2[/texx] por inducción se tiene [texx]E[d_n^2]=L^2n[/texx]

Esto serviría para contestar al apartado 3. La esperanza tiende a infinito. Un saludo.

Sí, cierto, tiende a infinito, se puede ver intuitivamente al ver que en cada salto el arco de la circunferencia que aleja a la rana del origen es mayor al arco que la acerca al origen.
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« Respuesta #3 : 09/07/2019, 04:17:07 pm »

Hola Masacroso.

¿Has intentado programar una simulación o algo así sobre el proceso?
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« Respuesta #4 : 09/07/2019, 04:40:56 pm »

Hola Masacroso.

¿Has intentado programar una simulación o algo así sobre el proceso?

No, nunca lo he hecho. Lo cierto es que este proceso estocástico lo olvidé una vez empecé a estudiar matemáticas (aunque tenía en mente desarrollar los conocimientos matemáticos necesarios para estudiar procesos estocásticos, cosa que aún no he hecho por falta de tiempo entre otras cosas), lo he vuelto a revisitar hoy, a ver lo que podía sacar.

Pero es difícil programar correctamente un experimento de esta clase, al menos para que vaya lo más rápido posible. Un día podría intentarlo con Julia, que es un lenguaje de programación que me ha gustado mucho desde que le eché un vistazo y lo he ido aprendiendo poco a poco (aunque aún estoy en pañales).

En cualquier caso supongo que los chicos de stackoverflow siempre me podrán echar un cable :sonrisa:

---

EDICIÓN: tengo un código base en Julia:

Código:
using LinearAlgebra
# La suma de n v.a. del plano
function rsum(n::Int64)
  p = [0,0]
  for j in 1:n
    x = rand(Float64)
    p = p + [cos(2*pi*x),sin(2*pi*x)]
  end
  return p
end
# Ahora la distancia
function rd(n::Int64)
  norm(rsum(n))
end

A partir ahí viene la simulación de Monte Carlo y la graficación.

CORRECCIÓN: he corregido el código.
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« Respuesta #5 : 09/07/2019, 05:34:29 pm »

Hola.

Mira a ver esto qué te parece. En el archivo hay un código en C (main.c), un ejecutable (rana.exe), y el archivo que crea el ejecutable con los resultados (salida.txt). En este archivo cada columna es una rana, y cada fila un salto. La última columna es la de las distancias medias en cada salto.

Un saludo.

PD. Aviso de que si metes más de 188 ranas, el block de notas de windows te visualiza el archivo de una manera poco legible.

* ranas.rar (18.53 KB - descargado 11 veces.)
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« Respuesta #6 : 09/07/2019, 05:58:18 pm »

Hola.

Mira a ver esto qué te parece. En el archivo hay un código en C (main.c), un ejecutable (rana.exe), y el archivo que crea el ejecutable con los resultados (salida.txt). En este archivo cada columna es una rana, y cada fila un salto. La última columna es la de las distancias medias en cada salto.

Un saludo.

PD. Aviso de que si metes más de 188 ranas, el block de notas de windows te visualiza el archivo de una manera poco legible.

No salen las columnas alineadas, así que es difícil de visualizar qué es qué, como por ejemplo las medias  :indeciso:
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« Respuesta #7 : 09/07/2019, 06:28:48 pm »

Vaya hombre.

A mí con menos de 188 ranas se me visualiza bien. No sé por qué puede ser, tal vez el editor de texto. Ni idea... El código para separar los datos utiliza tabulaciones y saltos de línea. Tal vez haya una manera mejor. Mañana le echaré un vistazo a ver.

Sinó puedes intentar copiar todo el texto, así tal cual,  y pegarlo en una hoja de cálculo tipo excel, a ver qué pasa... 

Un saludo.
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« Respuesta #8 : 10/07/2019, 03:51:47 am »

Hola.

Lanzamos una nueva actualización del software rana  :cara_de_queso:. Ahora te imprime por pantalla las medias de las distancias de todas las ranas al origen después de cada salto y te las escribe en un fichero de texto que se llama "medias.txt".

Un saludo.

* ranas2.rar (3848.58 KB - descargado 8 veces.)
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« Respuesta #9 : 10/07/2019, 04:01:11 am »

Hola.

Lanzamos una nueva actualización del software rana  :cara_de_queso:. Ahora te imprime por pantalla las medias de las distancias de todas las ranas al origen después de cada salto y te las escribe en un fichero de texto que se llama "medias.txt".

Un saludo.

Ah, mira, ya va bien. Lo que pasa es que tenía el "ajuste de línea" activado en el notepad, y eso me desajustaba todo, pero ahora se ve correctamente. Luego tengo que ver cómo abrir el archivo txt para hacer una gráfica con algún programa.



ACTUALIZACIÓN: si no me equivoco la esperanza de la distancia al cuadrado es esto

[texx]\displaystyle E[Y_n^2]=(2\pi)^{-n}\iint\cdots\int_0^{2\pi}\left(n+2\sum_{1\le k< j\le n}\cos(x_k-x_j)\right)\, dx_1\,dx_2\cdots dx_n[/texx]

de lo que deducimos que [texx]E[Y_n^2]=n[/texx], ahora habría que ver si, a partir de este dato, podemos calcular más fácilmente [texx]E[Y_n][/texx]. Luego miro lo que puedo hacer con eso.



SEGUNDA ACTUALIZACIÓN: de lo anterior y la desigualdad de Jensen, sabiendo que la raíz cuadrada es cóncava, tenemos la cota [texx]E[Y_n]\le\sqrt n[/texx].
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« Respuesta #10 : 12/07/2019, 03:20:12 am »

Hola Masacroso.

Acabo de darme cuenta de que el hecho de que la esperanza del cuadrado de la distancia tienda a infinito no implica que lo haga la de la distancia. Me precipité al pensarlo.

Después de entrar de nuevo en el hilo he visto por las actualizaciones a tus respuestas que ya te has dado cuenta de eso. Pero bueno, que estoy de acuerdo contigo en que todavía no hemos demostrado la divergencia de esa esperanza.

Saludos.

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« Respuesta #11 : 12/07/2019, 03:36:41 pm »

He estado haciendo simulaciones con este código

Código:
using LinearAlgebra
# La suma de n v.a. del plano
function rsum(n)
    p = [1,0]
    for j in 2:n
        x = 2 * pi * rand()
        p = p + [cos(x),sin(x)]
    end
    return p
end
# Ahora la distancia
function rd(n)
    norm(rsum(n))
end

# Hacemos un montón de experimentos y los metemos en una matriz
function sim(n, m = 24)
    datos = zeros(2^m) # Creamos la matriz de datos a rellenar
    for i in 1:2^m
        datos[i] = rd(n)
    end
    return datos
end

# Gráfica básica con la función histograma de la librería Plots.jl
using Plots
function h(n, m = 24)
    histogram(sim(n, m), normalize = :pdf)
end

El script se puede cargar en Juno, que es un front-end de Julia, entonces cargando el script y luego ejecutando en la consola

Código:
h(10)

nos dibuja un histograma que aproxima la función de densidad de la distancia después de efectuar 10 saltos de rana



El problema es que para  [texx]n\le 5[/texx] la función de densidad parece tener asíntotas verticales en algunos puntos, por tanto la simulación de la misma es una aproximación bastante burda.

Para un [texx]n[/texx] más grande la función tiene una forma como la de la imagen de arriba.

* myplot.png (14.65 KB - descargado 214 veces.)
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« Respuesta #12 : 15/07/2019, 11:50:17 am »

Hola Masacroso.

La gráfica te ha quedado muy bonita. Yo he estado un tiempo sin poder programar, y ahora que me he puesto un rato no me ha salido nada interesante. De todas formas te comento que no creo que lo que tengan esas funciones de densidad sean asíntontas verticales, sinó que más bien creo que se trata de máximos, aunque a veces parezcan exagerados.

Me parece lógico que sean máximos. Piensa que en el caso [texx]n=1[/texx], la función de densidad es algo así como una delta de Dirac:

[texx]\delta_1(x)=\begin{cases} \infty & \text{si}& x=1\\0 &  \text{en otro caso}&\end{cases}[/texx]

Entonces, me parece bastante natural que para otros valores de [texx]n[/texx], sobre todo para los pequeños, la función de densidad correspondiente tenga máximos exagerados. Es decir, que la existencia de esos máximos no creo que quiera decir que tu simulación sea burda. Sería interesante ver alguna de esas gráficas, a ver cuántos máximos te pone y dónde lo hace.

Un saludo.
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« Respuesta #13 : 15/07/2019, 02:07:12 pm »

Hola Masacroso.

La gráfica te ha quedado muy bonita. Yo he estado un tiempo sin poder programar, y ahora que me he puesto un rato no me ha salido nada interesante. De todas formas te comento que no creo que lo que tengan esas funciones de densidad sean asíntontas verticales, sinó que más bien creo que se trata de máximos, aunque a veces parezcan exagerados.

Me parece lógico que sean máximos. Piensa que en el caso [texx]n=1[/texx], la función de densidad es algo así como una delta de Dirac:

[texx]\delta_1(x)=\begin{cases} \infty & \text{si}& x=1\\0 &  \text{en otro caso}&\end{cases}[/texx]

Entonces, me parece bastante natural que para otros valores de [texx]n[/texx], sobre todo para los pequeños, la función de densidad correspondiente tenga máximos exagerados. Es decir, que la existencia de esos máximos no creo que quiera decir que tu simulación sea burda. Sería interesante ver alguna de esas gráficas, a ver cuántos máximos te pone y dónde lo hace.

Un saludo.

Esto de las asíntotas viene porque para [texx]n=2[/texx] la función de densidad se puede calcular explícitamente ya que

[texx]\displaystyle f_{Y_2}(x)=\frac{d}{dx} \Pr[2+2\cos (X)\le x^2]=\Pr[\cos(X)\le x^2/2-1][/texx]

Ahora bien, como la función coseno es simétrica respecto del eje de ordenadas entonces, geométricamente, es claro que

[texx]\displaystyle {\Pr[\cos(X)\le c]=\begin{cases}1-\pi^{-1}\arccos(c),& c\in [-1,1] \\
1,& c>1\\ 0, &\text{ otra cosa}\end{cases}}[/texx]

cuando [texx]X\sim U[-\pi,\pi][/texx]. De ahí deducimos que

[texx]\displaystyle f_{Y_2}(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-(x/2)^2}}\chi_{[0,2]}(x)[/texx]

ya que [texx]x[/texx] es no-negativo al ser una función distancia. La función anterior tiene una asíntota vertical en [texx]x=2[/texx], y al aproximarse empíricamente hace que la gráfica no sea cuantitativamente tan buena como cuando no hay asíntota vertical, o al menos eso sospecho.

Graficando para [texx]n=3[/texx] se ve algo parecido, y en los casos [texx]n=4[/texx] y [texx]n=5[/texx] las gráficas hacen sospechar de que quizá haya alguna asíntota vertical. Para [texx]n=6[/texx] ya la cosa parece clara, siendo una campana como la de la gráfica de mi anterior respuesta.

En algún rato, si puedo, actualizo con un código más eficiente y con mejores gráficas.



ACTUALIZACIÓN: el siguiente código es muchísimo más eficiente que el anterior

Código:
# n saltos aleatorios en el plano
function rsum(n::Int)
    p = 1.0
    for j in 2:n
        p += exp(2pi * im * rand())
    end
    return p
end

# la función distancia tras n saltos
function rd(n::Int)
    abs(rsum(n))
end

# hacemos un montón de experimentos y los metemos en una matriz
function sim(n::Int, m::Int = 22)
    datos = zeros(2^m)
    for i in 1:2^m
        datos[i] = rd(n)
    end
    return datos
end

# podemos graficar con esto
using StatsPlots, Statistics
function dd(n::Int,m::Int=22)
    x = sim(n,m)
    density!(x, w = 2,
        xlabel = "Distancia recorrida",
        label = "Función de densidad estimada tras $n saltos",
        fill = (0, 0.1, :orange))
    vline!([mean(x)],
        label = "Media estimada tras $n saltos: $(round(mean(x),digits=2))",
        line = :dash)
end

Entonces cada vez que llamamos a la función dd actualiza el gráfico que haya añadiendo otro más, pudiendo hacer cosas como ésta



El gráfico creado se puede guardar con la función savefig (que por defecto parece que es guardado en la carpeta de usuario, si estás utilizando windows).

* plots.png (36.77 KB - descargado 178 veces.)
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« Respuesta #14 : 16/07/2019, 03:50:49 am »

Hola.

Vale sí, no te había entendido bien en lo de las asíntotas. Pues parece que la cosa va tomando forma de campana a medida que crece 'n'.

Muy bonito todo. Un saludo.
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« Respuesta #15 : 16/07/2019, 04:25:10 pm »

Dejando esta misma cuestión en MSE me han dado una aproximación teórica a la distribución de [texx]Y_n[/texx]. Parece ser que [texx]f_{Y_n/\sqrt n}(x)\approx 2xe^{-x^2}\chi_{(0,\infty)}(x)[/texx] para [texx]n[/texx] suficientemente grande, lo que implica que

[texx]\displaystyle{
f_{Y_n}(x)=\frac{d}{dx}\Pr[Y_n\le x]=\frac{d}{dx}\Pr[Y_n/\sqrt n\le x/\sqrt n]\\
\approx\frac{d}{dx} F_{Y_n/\sqrt n}(x/\sqrt n)=f_{Y_n/\sqrt n}(x/\sqrt n)\cdot\frac1{\sqrt n}\\
=\frac{2x}{n}e^{-x^2/n}\chi_{(0,\infty)}(x)
}[/texx]

Esto me pasa por no tener ni idea de teoría de la probabilidad  :llorando:. Ah, cuando pueda le meto mano a un libro que trate en profundidad el teorema central del límite, que es en lo que se basa esta aproximación.



ACTUALIZACIÓN: realmente la aproximación teórica es muy buena, al menos para valores de [texx]n[/texx] mayor o iguales a diez. Haciendo un pequeño cambio en el código he hecho la siguiente gráfica comparativa:



Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Por tanto ahora sí que podemos demostrar que la media tiende a infinito, ya que en el infinito la aproximación deja de serlo, y tenemos que

[texx]\displaystyle \lim_{n\to\infty} E[Y_n]=\lim_{n\to\infty}\frac2n\int_0^\infty x^2 e^{-x^2/n}dx
=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\pi n}}2=\infty[/texx]



Vale la pena añadir que, en cualquier caso, podemos estimar probabilísticamente cómo de buena es nuestra función de densidad estimada utilizando la desigualdad de Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz.

Y en el caso que nos ocupa también podemos utilizar la desigualdad de Berry-Essen que estima el error máximo al aproximar la distribución de una variable aleatoria a través del teorema central del límite.


* plots3.png (44 KB - descargado 119 veces.)
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« Respuesta #16 : 19/07/2019, 06:40:21 pm »

Ups, no sé lo que he hecho pero me lo he cargado todo :cara_de_queso:. Había hecho un notebook de Jupyter de ejemplo pero lo he borrado o corrompido o algo. Luego actualizo si acaso.



ACTUALIZACIÓN: ya lo he reparado, se puede ver una versión estática del mismo aquí. He intentado ponerle gráficos interactivos pero todavía no he podido.
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« Respuesta #17 : 20/07/2019, 06:56:18 am »

Hola buenas.

Las gráficas estupendas. Parece que ya tienes destripado el problema.  Aplauso

Yo no entiendo qué significa eso de [texx]\chi_{(0,\infty} )
 [/texx]

Saludos.


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« Respuesta #18 : 20/07/2019, 09:31:04 am »

He estado siguiendo este hilo con interés. Felicidades por el trabajo, al final ha quedado un estudio muy completo del problema. Aplauso


Yo no entiendo qué significa eso de [texx]\chi_{(0,\infty)}
 [/texx]

Es la función característica del conjunto [texx](0, \infty)[/texx]. Es decir,
[texx]
\chi_{(0, \infty)}(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x \in (0,\infty)\\0 & \text{si}& x \notin (0,\infty)\end{cases}[/texx]

Tiene sentido que aparezca porque la probabilidad de que la distancia sea negativa es [texx]0[/texx], así que la función de densidad valdrá [texx]0[/texx] fuera del conjunto [texx](0, \infty)[/texx].
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #19 : 20/07/2019, 11:56:28 am »

Vale, la función característica, ahora lo voy pillando.   :cara_de_queso:.

Gracias, un saludo.
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