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Autor Tema: Número de funciones  (Leído 357 veces)
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mariia
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« : 07/07/2019, 01:35:50 am »

Hola buenas noches quisiera saber si estos ejercicios me quedaron bien. Gracias

1. Calcule el número de funciones inyectivas entre un conjunto con [texx]17[/texx] elementos y otro con [texx]20[/texx] elementos.

[texx]W=\left\{f\in B^{A}: f\hspace{0,3 cm}es \hspace{0,3 cm}inyectiva\right\}[/texx]
[texx]\mid w \mid=\mid B^{17}\mid=20^{17}[/texx].


2. Calcule cuántas funciones inyectivas de [texx]\left\{{1,2,3,4}\right\}[/texx] en [texx]\left\{{1,2,3,4,5,6,7}\right\}[/texx] satisfacen que [texx]f(2)=7\hspace{0,3 cm}y\hspace{0,3 cm}f(3)=6[/texx]

[texx]L=\left\{f\in B^{A}: f\hspace{0,3 cm}es \hspace{0,3 cm}inyectiva\right\}[/texx]
[texx]\mid w \mid=\mid B^{\left\{{1,4}\right\}}\mid=7^{2}[/texx].

3. Para las funciones sobreyectivas se haría igual solo que quitandole los elementos de llegada?:¿eh?:
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« Respuesta #1 : 07/07/2019, 02:18:34 am »

Hola buenas noches quisiera saber si estos ejercicios me quedaron bien. Gracias

1. Calcule el número de funciones inyectivas entre un conjunto con [texx]17[/texx] elementos y otro con [texx]20[/texx] elementos.

[texx]W=\left\{f\in B^{A}: f\hspace{0,3 cm}es \hspace{0,3 cm}inyectiva\right\}[/texx]
[texx]\mid w \mid=\mid B^{17}\mid=20^{17}[/texx].

Aquí has calculado el número total de funciones con dominio A y codominio B pero el número de funciones inyectivas es menor.

La imagen de una función inyectiva tiene la misma cardinalidad que A pero está contenida en B, entonces el número de funciones inyectivas entre A y B será el número de listas ordenadas de [texx]|A|=17[/texx] elementos que se pueden formar con los elementos de B, es decir, con 20 elementos diferentes.


Cita
2. Calcule cuántas funciones inyectivas de [texx]\left\{{1,2,3,4}\right\}[/texx] en [texx]\left\{{1,2,3,4,5,6,7}\right\}[/texx] satisfacen que [texx]f(2)=7\hspace{0,3 cm}y\hspace{0,3 cm}f(3)=6[/texx]

[texx]L=\left\{f\in B^{A}: f\hspace{0,3 cm}es \hspace{0,3 cm}inyectiva\right\}[/texx]
[texx]\mid w \mid=\mid B^{\left\{{1,4}\right\}}\mid=7^{2}[/texx].

Ahí has calculado el número de funciones que van desde [texx]\{1,4\}[/texx] a B, que nada tiene que ver con lo que te piden. Tienes que fijar los puntos [texx](2,7)[/texx] y [texx](3,6)[/texx] y luego construir funciones inyectivas con el dominio y codomino restantes, es decir con [texx]A\setminus\{2,3\}[/texx] y [texx]B\setminus\{6,7\}[/texx].

Con lo dicho arriba creo que ahora serás capaz de hacerlo bien, y si no pues ya te digo cómo, pero primero inténtalo.

Cita
3. Para las funciones sobreyectivas se haría igual solo que quitandole los elementos de llegada?:¿eh?:

No es posible que haya funciones sobreyectivas entre A y B ya que A tiene menos elementos que B (es decir, la cardinalidad de A es menor a la de B). Lo mismo para el segundo caso.
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« Respuesta #2 : 07/07/2019, 17:39:07 pm »

1. Osea que seria [texx]20^17[/texx] - [texx]17[/texx] las funciones inyectivas??

2. Aquí entonces seria las funciones de [texx]\left\{{1,2,3,4,5}\right\}^\left\{{1,4}\right\}[/texx] = [texx]5^2[/texx]

3. Ahh ok, entonces en este ejemplo tendría que hallar su cardinal y restarle las funciones constantes del conjunto de llegada, es decir:

calcule cuantas funciones sobreyectivas de [texx]\left\{{1,2,3,4,5,6,7}\right\}[/texx] en [texx]\left\{{1,2,3,4}\right\}[/texx] satisfacen que [texx]f(1)=1[/texx] y [texx]f(2)=2[/texx]

[texx]4^7[/texx] - [texx]4[/texx] y estas serian las funciones sobreyectivas.
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« Respuesta #3 : 08/07/2019, 01:57:57 am »

1. Osea que seria [texx]20^17[/texx] - [texx]17[/texx] las funciones inyectivas??

No, ¿de dónde has sacado eso? Si son las listas ordenadas de 17 elementos generadas a partir de 20 elementos distintos entonces son variaciones, y por tanto lo que buscas es [texx]20\cdot 19\cdot 18\cdots 4=20!/3![/texx].

Cita
2. Aquí entonces seria las funciones de [texx]\left\{{1,2,3,4,5}\right\}^\left\{{1,4}\right\}[/texx] = [texx]5^2[/texx]


Tampoco. Como en el caso anterior son variaciones: variación de listas de dos elementos (ya que del dominio sólo nos quedan 2 elementos libres) de entre 5 elementos posibles (ya que del codominio sólo nos quedan 5 elementos libres), es decir [texx]5\cdot 4=20[/texx].

Cita
3. Ahh ok, entonces en este ejemplo tendría que hallar su cardinal y restarle las funciones constantes del conjunto de llegada, es decir:

calcule cuantas funciones sobreyectivas de [texx]\left\{{1,2,3,4,5,6,7}\right\}[/texx] en [texx]\left\{{1,2,3,4}\right\}[/texx] satisfacen que [texx]f(1)=1[/texx] y [texx]f(2)=2[/texx]

[texx]4^7[/texx] - [texx]4[/texx] y estas serian las funciones sobreyectivas.

Suponiendo que el dominio tuviese [texx]n[/texx] elementos, el codominio [texx]m[/texx] elementos y [texx]n\ge m[/texx] entonces el número de funciones sobreyectivas serían las diferentes formas de separar [texx]n[/texx] elementos en [texx]m[/texx] grupos, y cada grupo asignado a un elemento del codominio (cada grupo representaría ahí la preimagen de cada elemento del codominio).

En combinatoria un número de Stirling de segundo tipo, representado por [texx]\left\{n \atop m\right\}[/texx], cuenta las distintas formas de dividir una lista ordenada de [texx]n[/texx] objetos en [texx]m[/texx] grupos distintos (ninguno vacío). Entonces si a cada grupo le asociamos un valor del codominio tendríamos una sobreyección, y como hay [texx]m[/texx] elementos diferentes entonces el número de sobreyecciones de [texx]n[/texx] elementos en [texx]m[/texx] sería [texx]m!\left\{n \atop m\right\}[/texx].

Los números de Stirling de segundo tipo no tienen una forma cerrada, es decir, se evalúan usando recurrencias o sumas, por ejemplo está la recurrencia:

[texx]\displaystyle \left\{n+1 \atop k\right\}=k\left\{n \atop k\right\}+\left\{n \atop k-1\right\},
\quad \left\{0 \atop 0\right\}=1,\quad \left\{0 \atop n\right\}=\left\{n \atop 0\right\}=0[/texx]
  o la suma

[texx]\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}(k-i)^{n}[/texx]

En el caso de

Cita
calcule cuantas funciones sobreyectivas de [texx]\left\{{1,2,3,4,5,6,7}\right\}[/texx] en [texx]\left\{{1,2,3,4}\right\}[/texx] satisfacen que [texx]f(1)=1[/texx] y [texx]f(2)=2[/texx]

tienes ya dos elementos del dominio fijados, es decir [texx]1\mapsto 1[/texx] y [texx]2\mapsto 2[/texx], entonces del dominio te quedan sólo cinco elementos diferentes por mapear. Para que al mapearse estos cinco elementos den lugar a funciones sobreyectivas o bien se mapean sobreyectivamente en el codominio original [texx]\{1,2,3,4\}[/texx], o bien se mapean en [texx]\{3,4\},\,\{1,3,4\}[/texx] o en [texx]\{2,3,4\}[/texx]. Entonces el número que buscas es

[texx]\displaystyle {\color{red}{4!}}\left\{5 \atop 4\right\}+2\cdot {\color{red}{3!}}\left\{5 \atop 3\right\}+{\color{red}{2!}}\left\{5 \atop 2\right\}[/texx]

No sé si habrá otra manera más sencilla de calcularlo.

CORRECCIÓN: había olvidado multiplicar cada número de Stirling de segundo tipo por el número de permutaciones posibles de los [texx]m[/texx] elementos.



Mirando por MSE he visto otra manera de contar las sobreyecciones, que sería usando el método de inclusión-exclusión. Sería así: contar primero el número de funciones que hay entre el dominio dado y el codominio eliminando un elemento de este último, es decir [texx]\binom{m}1 (m-1)^n[/texx].

Evidentemente no todas esas funciones contadas en [texx]\binom{m}1 (m-1)^n[/texx] son sobreyectivas sobre el codominio restringido sobre el que se mapean, entonces de esas funciones habría que eliminar aquellas que se mapean sobre un codominio con un elemento menos, es decir, hay que restar [texx]\binom{m}2 (m-2)^n[/texx], etc... Entonces el número de sobreyecciones sería

[texx]\displaystyle m^n-\binom{m}1 (m-1)^n+\binom{m}2 (m-2)^n-\ldots (-1)^m\binom{m}m (m-m)^n[/texx]

En tu caso, emulando lo que hemos hecho con los números de Stirling, el número de sobreyecciones, fijados ya dos elementos, sería el número de sobreyecciones sobre el codominio original, más el número de sobreyecciones sobre [texx]\{3,4\},\,\{1,3,4\}[/texx] o sobre [texx]\{2,3,4\}[/texx].
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« Respuesta #4 : 09/07/2019, 01:15:18 am »

Vale, muchas gracias
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