06/12/2019, 08:25:38 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1] 2   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Dado un razonamiento escribirlo simbólicamente y analizar su validez  (Leído 1369 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« : 08/07/2019, 04:10:06 am »

Hola!

Tantos meses sin aparecer... Los he extrañado mucho. Ahora vuelvo con dudas que espero puedan ayudarme a resolver :sonrisa:.

El enunciado dice:



Dado el siguiente razonamiento, definir un conjunto universal, escribir simbólicamente el razonamiento y analizar su validez:

Todos los empleados de la empresa LJCM son de La Pampa o Córdoba. Los empleados cordobeses han sido capacitados y tienen título de posgrado. Pablo, uno de los empleados de LJCM tiene título de posgrado pero no fue capacitado. Por lo tanto al menos un empleado de LJCM es de La Pampa.




Defino [texx]\mathcal{U}=\{x\mid\text{\(x\) es una persona}\}[/texx] y el siguiente diccionario de datos:

[texx]p(x)=\text{\(x\) es empleado de la empresa LJCM}[/texx]

[texx]q(x)=\text{\(x\) es de La Pampa}[/texx]

[texx]r(x)=\text{\(x\) es de Córdoba}[/texx]

[texx]s(x)=\text{\(x\) está capacitado}[/texx]

[texx]t(x)=\text{\(x\) tiene título de posgrado}[/texx]

Por tanto el razonamiento a analizar se convierte en:

[texx]
\begin{array}{l}
\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))\\
\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))\\
\exists x(t(x)\wedge\neg s(x))\\\hline
\therefore\exists x(p(x)\wedge q(x))
\end{array}
[/texx]

¿Hasta aquí todo bien?

De ser así, no me pondría a buscar un contraejemplo para probar que es inválido sino utilizar reglas de inferencia + leyes lógicas para probar la validez del mismo:

[texx]
\begin{array}{lll}
1)&\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))&\text{Premisa}\\
3)&\exists x(t(x)\wedge\neg s(x))&\text{Premisa}\\
4)&t(a)\wedge\neg s(a)&\text{Eliminación particularizador 3)}\\
5)&p(a)\to q(a)\vee r(a)&\text{Eliminación generalizador 1)}\\
6)&r(a)\to s(a)\wedge t(a)&\text{Eliminación generalizador 2)}\\
\end{array}
[/texx]

Hasta acá llego porque después no sé qué más aplicar (se hace un choclo de líneas de razonamiento). Sólo tengo permitidos las siguientes reglas de inferencia:

Spoiler: Reglas de inferencia permitidas (click para mostrar u ocultar)

¿Qué harían ustedes (de estar todo bien)?

Gracias!!
Saludos

P.D. Tengo temor a que esté mal particularizado, porque he visto casos en donde se escribe sin el "existe" y directamente se escribe [texx]t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})[/texx]. ¿Cómo lo escribirían ustedes?
En línea
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 801



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 08/07/2019, 04:44:06 am »

Hola manoooh, ¡cuánto tiempo!



El enunciado dice:



Dado el siguiente razonamiento, definir un conjunto universal, escribir simbólicamente el razonamiento y analizar su validez:

Todos los empleados de la empresa LJCM son de La Pampa o Córdoba. Los empleados cordobeses han sido capacitados y tienen título de posgrado. Pablo, uno de los empleados de LJCM tiene título de posgrado pero no fue capacitado. Por lo tanto al menos un empleado de LJCM es de La Pampa.




Defino [texx]\mathcal{U}=\{x\mid\text{\(x\) es una persona}\}[/texx] y el siguiente diccionario de datos:

[texx]p(x)=\text{\(x\) es empleado de la empresa LJCM}[/texx]

[texx]q(x)=\text{\(x\) es de La Pampa}[/texx]

[texx]r(x)=\text{\(x\) es de Córdoba}[/texx]

[texx]s(x)=\text{\(x\) está capacitado}[/texx]

[texx]t(x)=\text{\(x\) tiene título de posgrado}[/texx]

Por tanto el razonamiento a analizar se convierte en:

[texx]
\begin{array}{l}
\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))\\
\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))\\
\exists x(t(x)\wedge\neg s(x))\\\hline
\therefore\exists x(p(x)\wedge q(x))
\end{array}
[/texx]

¿Hasta aquí todo bien?

La última premisa está mal formalizada, te falta decir que es un trabajador de LJCM. Es decir, sería:
[texx]\exists x(p(x) \wedge t(x)\wedge\neg s(x))[/texx]

Tal como lo tenías formalizado no era un razonamiento válido (solo podrías demostrar que hay algún empleado de la Pampa, pero no que haya algún empleado de LJCM que además sea de la Pampa).

Con la formalización correcta sí que es un razonamiento válido, prueba a ver si te sale la demostración.


Cita
P.D. Tengo temor a que esté mal particularizado, porque he visto casos en donde se escribe sin el "existe" y directamente se escribe [texx]t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})[/texx]. ¿Cómo lo escribirían ustedes?

Sí, la formalización estricamente sería así, añadiendo una constante al lenguaje (Pablo). Esto es así porque en el enunciado no te dice "hay algún trabajador que..." sino "Pablo es un trabajador de...". Es decir, no te da un enunciado existencial sino uno referente a una persona concreta. Por eso es mejor formalizarlo con una constante.

De todos modos, es irrelevante para el razonamiento, pues de [texx]\phi(Pablo)[/texx] puedes deducir [texx]\exists x \phi(x)[/texx]. Sí que sería relevante si en la conclusión del razonamiento se mencionara explícitamente a Pablo.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 08/07/2019, 04:49:02 am »

Olvidarse de esto, geómetracat ha encontrado un error

Hola

Intentando pensar si puede ser inválido, he tomado el siguiente ejemplo:

Sea [texx]\mathcal{U}=\{\text{Pablo},\text{Juan},\text{Pedro}\}[/texx] (no me digan machista por favor :risa:).

Definamos los siguientes subconjuntos:

[texx]\{\text{Pablo},\text{Juan}\}[/texx] son empleados de la empresa.

[texx]\{\text{Pedro}\}[/texx] es de La Pampa.

[texx]\{\text{Pablo},\text{Juan}\}[/texx] son de Córdoba.

[texx]\{\text{Pablo},\text{Juan}\}[/texx] están capacitados.

[texx]\{\text{Pablo},\text{Juan},\text{Pedro}\}[/texx] tienen título de posgrado.



Veamos si las premisas se cumplen:

Todo empleado de la empresa es de La Pampa o de Córdoba.

Todo aquel que viva en Córdoba está capacitado y tiene título de posgrado (tenemos falso implica X, así que esta premisa es verdadera).

Por último, existe una persona con título de posgrado (Pedro) que NO está capacitado (Pedro no está capacitado).

SIN EMBARGO, la tesis es FALSA, pues no hay nadie que sea empleado de la empresa y además sea de La Pampa (pues los empleados son Pablo y Juan, y ninguno de ellos son de La Pampa, son de Córdoba).



¿Está bien pensado?

¿Cómo lo corregirían ustedes?

Gracias nuevamente.
Saludos
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 08/07/2019, 04:57:47 am »

Hola geómetracat! Gracias por la ayuda

Con la formalización correcta sí que es un razonamiento válido, prueba a ver si te sale la demostración.

Ok, lo intentaré. Parece tedioso :indeciso:.

Sí, la formalización estricamente sería así, añadiendo una constante al lenguaje (Pablo). Esto es así porque en el enunciado no te dice "hay algún trabajador que..." sino "Pablo es un trabajador de...". Es decir, no te da un enunciado existencial sino uno referente a una persona concreta. Por eso es mejor formalizarlo con una constante.

De todos modos, es irrelevante para el razonamiento, pues de [texx]\phi(Pablo)[/texx] puedes deducir [texx]\exists x \phi(x)[/texx]. Sí que sería relevante si en la conclusión del razonamiento se mencionara explícitamente a Pablo.

No importa que sea irrelevante. Si lo estrictamente formalizable es como decís, pues así será. No quiero llevarme una sorpresa cuando me olvide que es importante lo que decís en la conclusión.

Saludos
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 08/07/2019, 05:05:54 am »

Hola

Tenemos:

[texx]\mathcal{U}=\{x\mid\text{\(x\) es una persona}\}[/texx] y el siguiente diccionario de datos:

[texx]p(x)=\text{\(x\) es empleado de la empresa LJCM}[/texx]

[texx]q(x)=\text{\(x\) es de La Pampa}[/texx]

[texx]r(x)=\text{\(x\) es de Córdoba}[/texx]

[texx]s(x)=\text{\(x\) está capacitado}[/texx]

[texx]t(x)=\text{\(x\) tiene título de posgrado}[/texx]

El razonamiento corregido es:

[texx]
\begin{array}{l}
\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))\\
\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))\\
p(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})\\\hline
\therefore\exists x(p(x)\wedge q(x))
\end{array}
[/texx]

Prueba de la validez del razonamiento:


[texx]
\begin{array}{lll}
1)&\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))&\text{Premisa}\\
3)&p(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})&\text{Premisa}\\
4)&p(\text{Pablo})\to q(\text{Pablo})\vee r(\text{Pablo})&\text{Eliminación generalizador 1)}\\
5)&r(\text{Pablo})\to s(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})&\text{Eliminación generalizador 2)}\\
6)&p(\text{Pablo})&\text{Eliminación conjunción 3)}\\
7)&q(\text{Pablo})\vee r(\text{Pablo})&\text{Modus Ponens 4), 6)}\\
\end{array}
[/texx]

y hasta aquí llego. Siempre doy vueltas y no consigo llegar a buen puerto.

Saludos
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 08/07/2019, 05:12:37 am »

Hola

Pregunta al margen que no tiene que ver con el hilo en sí pero que se me vino a la cabeza cuando estaba creando la respuesta #2:

Si debemos dar un contraejemplo para probar que el razonamiento es inválido, y además tenemos como premisa un "Para todo" que opera sobre una IMPLICACIÓN, ¿existen varias formas de probar que la premisa es verdadera, además de la típica [texx]\mathrm{V}\to\mathrm{V}\equiv\mathrm{V}[/texx]?

Es decir, si tenemos como premisa [texx]\forall x(p(x)\to q(x))[/texx], una forma de probar que es verdadero sería que para todo [texx]x[/texx], [texx]p(x)\to q(x)[/texx] es verdadera cuando [texx]p(x)[/texx] y [texx]q(x)[/texx] se cumplen, ¿qué hay de?:

- para un [texx]p(x_1)[/texx] NO se cumple (para el resto de las [texx]x[/texx] puede cumplirse o no), y [texx]q(x)[/texx] se cumple (sería [texx]\mathrm{F}\to\mathrm{V}[/texx] que equivale a [texx]\mathrm{V}[/texx]).
- para un [texx]p(x_1)[/texx] NO se cumple (para el resto de las [texx]x[/texx] puede cumplirse o no), y [texx]q(x)[/texx] NO se cumple (sería [texx]\mathrm{F}\to\mathrm{F}[/texx] que equivale a [texx]\mathrm{V}[/texx]).

¿En ambos casos la premisa seguiría siendo verdadera?

Saludos
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.604



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 08/07/2019, 06:06:55 am »

Olvidarse de esto, geómetracat ha encontrado un error



¡Buenos días, manooooh!, cuánto tiempo sin verte :sonrisa:

Ni pensaba decir nada del problema (que donde hay patrón no manda marinero...)

Saludos.
En línea

geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 801



Ver Perfil
« Respuesta #7 : 08/07/2019, 06:13:11 am »

Prueba de la validez del razonamiento:


[texx]
\begin{array}{lll}
1)&\forall x(p(x)\to q(x)\vee r(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))&\text{Premisa}\\
3)&p(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})&\text{Premisa}\\
4)&p(\text{Pablo})\to q(\text{Pablo})\vee r(\text{Pablo})&\text{Eliminación generalizador 1)}\\
5)&r(\text{Pablo})\to s(\text{Pablo})\wedge t(\text{Pablo})&\text{Eliminación generalizador 2)}\\
6)&p(\text{Pablo})&\text{Eliminación conjunción 3)}\\
7)&q(\text{Pablo})\vee r(\text{Pablo})&\text{Modus Ponens 4), 6)}\\
\end{array}
[/texx]

y hasta aquí llego. Siempre doy vueltas y no consigo llegar a buen puerto.

Vas bien. Te doy unas ideas para acabar la demostración. Ya tienes demostrado [texx]p(\text{Pablo})[/texx]. Te basta con demostrar [texx]q(\text{Pablo})[/texx], pues entonces podrás deducir [texx]p(\text{Pablo}) \wedge q(\text{Pablo})[/texx] y de ahí [texx]\exists x (p(x) \wedge q(x))[/texx].

Para probar [texx]q(\text{Pablo})[/texx] deberás usar lo que llamas silogismo disyuntivo aplicado a [texx]7)[/texx]. Es decir, te basta con probar que [texx]\neg r(\text{Pablo})[/texx].

Para ello fíjate que de [texx]5)[/texx] obtienes (vía modus tollens y de Morgan) [texx]\neg s(\text{Pablo}) \vee \neg t(\text{Pablo}) \rightarrow \neg r(\text{Pablo})[/texx]. Y de [texx]3)[/texx] puedes obtener [texx]\neg s(\text{Pablo})[/texx], luego de estos dos hechos obtienes [texx]\neg r(\text{Pablo})[/texx] y ya estás.

En general, debes ser capaz de ver el argumento "semiformalmente" antes de ponerte con las reglas. Es decir, tienes que tener un esbozo de la estructura que seguirá la demostración antes de ponerte a aplicar reglas sin ton ni son, sino nunca te saldrá bien. Una buena idea suele ser trabajar para atrás. Empiezas por la conclusión y piensas "¿qué necesito para demostrar esto?" y así vas siguiendo.

Si debemos dar un contraejemplo para probar que el razonamiento es inválido, y además tenemos como premisa un "Para todo" que opera sobre una IMPLICACIÓN, ¿existen varias formas de probar que la premisa es verdadera, además de la típica [texx]\mathrm{V}\to\mathrm{V}\equiv\mathrm{V}[/texx]?

Es decir, si tenemos como premisa [texx]\forall x(p(x)\to q(x))[/texx], una forma de probar que es verdadero sería que para todo [texx]x[/texx], [texx]p(x)\to q(x)[/texx] es verdadera cuando [texx]p(x)[/texx] y [texx]q(x)[/texx] se cumplen, ¿qué hay de?:

- para un [texx]p(x_1)[/texx] NO se cumple (para el resto de las [texx]x[/texx] puede cumplirse o no), y [texx]q(x)[/texx] se cumple (sería [texx]\mathrm{F}\to\mathrm{V}[/texx] que equivale a [texx]\mathrm{V}[/texx]).
- para un [texx]p(x_1)[/texx] NO se cumple (para el resto de las [texx]x[/texx] puede cumplirse o no), y [texx]q(x)[/texx] NO se cumple (sería [texx]\mathrm{F}\to\mathrm{F}[/texx] que equivale a [texx]\mathrm{V}[/texx]).

¿En ambos casos la premisa seguiría siendo verdadera?

Sí, por supuesto. Que [texx]\forall x(p(x) \rightarrow q(x))[/texx] sea verdadera quiere decir que para cada objeto [texx]a[/texx] del universo, tienes que [texx]p(a) \rightarrow q(a)[/texx] es verdadera. Esto puede pasar porque [texx]p(a)[/texx] y [texx]q(a)[/texx] son ambas verdaderas, pero también en los otros casos que pones.

La fórmula que es verdadera exactamente cuando [texx]p(a)[/texx] y [texx]q(a)[/texx] son ambas verdaderas para todo [texx]a[/texx] es [texx]\forall x(p(x) \wedge q(x))[/texx].
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 08/07/2019, 02:44:52 pm »

Hola geómetracat

Te doy unas ideas para acabar la demostración. Ya tienes demostrado [texx]p(\text{Pablo})[/texx]. Te basta con demostrar [texx]q(\text{Pablo})[/texx], pues entonces podrás deducir [texx]p(\text{Pablo}) \wedge q(\text{Pablo})[/texx] y de ahí [texx]\exists x (p(x) \wedge q(x))[/texx].

De acuerdo.

Para ello fíjate que de [texx]5)[/texx] obtienes (vía modus tollens y de Morgan) [texx]\neg s(\text{Pablo}) \vee \neg t(\text{Pablo}) \rightarrow \neg r(\text{Pablo})[/texx]. Y de [texx]3)[/texx] puedes obtener [texx]\neg s(\text{Pablo})[/texx], luego de estos dos hechos obtienes [texx]\neg r(\text{Pablo})[/texx] y ya estás.

No entendí. Lo que podemos deducir de [texx]5)[/texx] es que, aplicando la equivalencia del condicional, [texx]\neg r\vee(s\wedge t)[/texx] (simplificaremos la escritura para ahorrar tiempo y espacio).

Luego podemos asociar: [texx](s\wedge t)\vee\neg r[/texx] y la primera proposición equivale a (por DeMorgan) [texx]\neg(\neg s\vee\neg t)[/texx], así que tenemos [texx]\neg(\neg s\vee\neg t)\vee\neg r[/texx] y otra vez usando la equivalencia del condicional, llegamos a [texx]\neg s\vee\neg t\to\neg r[/texx], que es lo mismo a lo que llegaste vos pero sin utilizar Modus Tollens (no sé cómo aplicarlo si para usar Modus Tollens necesitamos de 2 proposiciones unidas por [texx]\wedge[/texx] :¿eh?:).

Además, no sé cómo de [texx]\neg s\vee\neg t\to\neg r[/texx] y [texx]p\wedge t\wedge\neg s[/texx] se obtiene [texx]\neg s[/texx]. Además creo que ya [texx]3)[/texx] no se puede utilizar porque hemos deducido la línea [texx]6)[/texx]. ¿Se pueden reutilizar líneas?

Gracias y saludos
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 08/07/2019, 03:41:24 pm »

Hola feriva!!! Cuánto tiempo!!

¡Buenos días, manooooh!, cuánto tiempo sin verte :sonrisa:

Ni pensaba decir nada del problema (que donde hay patrón no manda marinero...)

He empezado a trabajar (auxiliar de profesor en Sala de Informática de una escuela secundaria) y a conectarme un poco más con la universidad y eso me ha hecho la vida imposible, casi todos los días termino exhausto y sin ganas de conectarme al foro. Pero ¡oye! he vuelto, y me alegra que todos los que seguía regularmente en el foro sigan participando (bueno, excepto Carlos pero él debe estar mucho más ocupado que todos nosotros).

Saludos
En línea
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 801



Ver Perfil
« Respuesta #10 : 08/07/2019, 03:41:55 pm »

No entendí. Lo que podemos deducir de [texx]5)[/texx] es que, aplicando la equivalencia del condicional, [texx]\neg r\vee(s\wedge t)[/texx] (simplificaremos la escritura para ahorrar tiempo y espacio).

Luego podemos asociar: [texx](s\wedge t)\vee\neg r[/texx] y la primera proposición equivale a (por DeMorgan) [texx]\neg(\neg s\vee\neg t)[/texx], así que tenemos [texx]\neg(\neg s\vee\neg t)\vee\neg r[/texx] y otra vez usando la equivalencia del condicional, llegamos a [texx]\neg s\vee\neg t\to\neg r[/texx], que es lo mismo a lo que llegaste vos pero sin utilizar Modus Tollens (no sé cómo aplicarlo si para usar Modus Tollens necesitamos de 2 proposiciones unidas por [texx]\wedge[/texx] :¿eh?:).

Sí, me refería a eso. Creo que me equivoqué con el nombre de modua tollens (no me sé muy bien loa nombres clásicos de las reglas). Me refería a que de [texx]p \rightarrow q[/texx] se puede deducir [texx]\neg q \rightarrow \neg p[/texx].

Cita
Además, no sé cómo de [texx]\neg s\vee\neg t\to\neg r[/texx] y [texx]p\wedge t\wedge\neg s[/texx] se obtiene [texx]\neg s[/texx]. Además creo que ya [texx]3)[/texx] no se puede utilizar porque hemos deducido la línea [texx]6)[/texx]. ¿Se pueden reutilizar líneas?

Por supuesto que se pueden reutilizar líneas (y premisas).
De [texx]p\wedge t\wedge\neg s[/texx] se deduce directamente [texx]\neg s[/texx]. Esto es la regla que dice que de una conjunción [texx]p \wedge q[/texx] se puede deducir [texx]p[/texx] (y [texx]q[/texx]).
Ahora, de [texx]\neg s[/texx] puedes deducir [texx]\neg s \vee \neg t[/texx]. Esto es la regla que dice que de [texx]p[/texx] puedes deducir [texx]p \vee q[/texx] para cualquier [texx]q[/texx].
Finalmente, de [texx]\neg s \vee \neg t[/texx] y [texx]\neg s\vee\neg t\to\neg r[/texx] se deduce por modus ponens [texx]\neg r[/texx] y ya estás.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #11 : 08/07/2019, 03:43:54 pm »

Hola

Sí, me refería a eso. Creo que me equivoqué con el nombre de modua tollens (no me sé muy bien loa nombres clásicos de las reglas). Me refería a que de [texx]p \rightarrow q[/texx] se puede deducir [texx]\neg q \rightarrow \neg p[/texx].

Ahhh, ok. Lo que yo tengo anotado de Modus Tollens es que si tenemos [texx]p\to q[/texx] y tenemos [texx]\neg q[/texx], entonces [texx]\neg p[/texx] (por eso no le veía sentido jaja). Entonces hemos aplicado la equivalencia del contrarrecíproco, ¡genial!

Por supuesto que se pueden reutilizar líneas (y premisas).
De [texx]p\wedge t\wedge\neg s[/texx] se deduce directamente [texx]\neg s[/texx]. Esto es la regla que dice que de una conjunción [texx]p \wedge q[/texx] se puede deducir [texx]p[/texx] (y [texx]q[/texx]).
Ahora, de [texx]\neg s[/texx] puedes deducir [texx]\neg s \vee \neg t[/texx]. Esto es la regla que dice que de [texx]p[/texx] puedes deducir [texx]p \vee q[/texx] para cualquier [texx]q[/texx].
Finalmente, de [texx]\neg s \vee \neg t[/texx] y [texx]\neg s\vee\neg t\to\neg r[/texx] se deduce por modus ponens [texx]\neg r[/texx] y ya estás.

Muy claro. ¡Gracias!

Saludos
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 09/07/2019, 02:19:56 am »

Hola

Puesto que el enunciado habla siempre de los empleados de la empresa, ¿podríamos haber puesto como conjunto universal a todos los empleados de la empresa en vez del conjunto todas las personas?

En ese caso, el razonamiento cambiaría completamente y [texx]p(x)[/texx] dejaría de existir (porque sería el conjunto universal), ¿cierto?

Saludos
En línea
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 801



Ver Perfil
« Respuesta #13 : 09/07/2019, 02:31:43 am »

Depende de cómo entiendas el enunciado. La clave está en la frase
Los empleados cordobeses han sido capacitados y tienen título de posgrado.

Si entiendes que habla de los empleados cordobeses de la empresa LJCM entonces sí, y todo se simplifica un poco.

Si entiendes que habla de empleados cordobeses (de cualquier empresa), entonces no. Sí podrías tomar en este caso como universo a las personas con empleo o algo así, pero no ganarías nada a nivel de formalización.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #14 : 09/07/2019, 02:36:55 am »

Hola

Depende de cómo entiendas el enunciado. La clave está en la frase
Los empleados cordobeses han sido capacitados y tienen título de posgrado.

Si entiendes que habla de los empleados cordobeses de la empresa LJCM entonces sí, y todo se simplifica un poco.

Ok, supongamos que nos referimos a los empleados cordobeses que son de la empresa.

No veo cómo se simplifica. Tendríamos el siguiente diccionario (y volvemos a simplificar la escritura):

[texx]q(x)=\text{\(x\) es de La Pampa}[/texx]

[texx]r(x)=\text{\(x\) es de Córdoba}[/texx]

[texx]s(x)=\text{\(x\) está capacitado}[/texx]

[texx]t(x)=\text{\(x\) tiene título de posgrado}[/texx]

Y el razonamiento a analizar es:

[texx]
\begin{array}{l}
\forall x(q(x)\vee r(x))\\
\forall x(r(x)\to s(x)\wedge t(x))\\
t(\text{Pablo})\wedge\neg s(\text{Pablo})\\\hline
\therefore\exists x(q(x))
\end{array}
[/texx]

Una vez particularizado todo en Pablo:

[texx]\begin{array}{ll}
1)&q\vee r\\
2)&r\to s\wedge t\\
3)&t\wedge\neg s
\end{array}[/texx]

no veo una salida a [texx]q[/texx] :¿eh?:.

Creo que podemos pensar lo siguiente:

[texx]\begin{array}{lll}
1)&q\vee r&\\
2)&r\to s\wedge t&\\
3)&t\wedge\neg s&\\
4)&\neg r&\text{Suposición}\\
5)&q&\text{Silogismo disyuntivo 1), 4)}\\
6)&\exists x(q(x))&\text{Introducción existencial 5)}
\end{array}[/texx]

¿Está bien?


Saludos

AGREGADO
En línea
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 801



Ver Perfil
« Respuesta #15 : 09/07/2019, 02:49:34 am »

No, no está bien. No puedes suponer lo que quieras, sino podrías probar cualquier cosa.

Imagino que estás pensando en las suposiciones de un sistema de deducción natural. En ese caso sí puedes suponer lo que quieras, pero para que la prueba sea válida todas las suposiciones deben ser descartadas (vía introducción del implicador, por ejemplo), cosa que no pasa aquí con [texx]\neg r[/texx].

La idea de fondo es correcta. Basta con probar [texx]\neg r[/texx] y usar silogismo disyuntivo. Pero tienes que demostrar [texx]\neg r[/texx], usando tus otras premisas. La demostración es muy parecida a la del caso que hicimos antes.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #16 : 09/07/2019, 02:56:10 am »

Hola

Muchas gracias por toda la ayuda.

No, no está bien. No puedes suponer lo que quieras, sino podrías probar cualquier cosa.

Claro claro.

Imagino que estás pensando en las suposiciones de un sistema de deducción natural. En ese caso sí puedes suponer lo que quieras, pero para que la prueba sea válida todas las suposiciones deben ser descartadas (vía introducción del implicador, por ejemplo), cosa que no pasa aquí con [texx]\neg r[/texx].

¿A qué te referís con introducir el implicador? Es decir, ¿deberíamos llegar a [texx]\text{cualquier cosa}\to\neg r[/texx] para luego haber corroborado que usamos correctamente el silogismo disyuntivo (línea [texx]5)[/texx] de la última deducción)?

La idea de fondo es correcta. Basta con probar [texx]\neg r[/texx] y usar silogismo disyuntivo. Pero tienes que demostrar [texx]\neg r[/texx], usando tus otras premisas. La demostración es muy parecida a la del caso que hicimos antes.

No entiendo qué significa "Demostrar [texx]\neg r[/texx]". ¿Sería demostrar [texx]\neg r(\text{Pablo})[/texx]? ¿A qué se le llama "Demostrar una suposición"?

Saludos
En línea
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 801



Ver Perfil
« Respuesta #17 : 09/07/2019, 03:42:31 am »

¿A qué te referís con introducir el implicador? Es decir, ¿deberíamos llegar a [texx]\text{cualquier cosa}\to\neg r[/texx] para luego haber corroborado que usamos correctamente el silogismo disyuntivo (línea [texx]5)[/texx] de la última deducción)?

Me refiero a que si usas deducción natural una de las reglas es que si bajo una suposición arbitraria [texx]p[/texx] deduzco [texx]q[/texx] entonces la regla de introducción del implicador da una deducción de [texx]p \rightarrow q[/texx], sin suposiciones (se dice que has descartado la suposición [texx]p[/texx]).
Creo que esto ya lo discutimos en algún hilo, donde hacías demostraciones usando deducción natural.

Cita
No entiendo qué significa "Demostrar [texx]\neg r[/texx]". ¿Sería demostrar [texx]\neg r(\text{Pablo})[/texx]? ¿A qué se le llama "Demostrar una suposición"?

Me refería simplemente a deducir [texx]\neg r[/texx] a partir de las premisas, nada más. "Demostrar una suposición" no significa nada a nivel técnico, solo decía que debes dar una demostración válida de lo que tú has llamado "suposición" (es decir, [texx]\neg r[/texx]).

Por cierto, he visto que preguntas mucho sobre demostraciones formales en el foro. ¿Es para alguna asignatura de la universidad, o es por interés propio?
Si es por interés personal, y como creo recordar que te gustaba la informática, ¿has probado alguna vez algún demostrador interactivo de teoremas como Coq o Agda? Creo que te podría gustar y ser útil.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.433


Ver Perfil
« Respuesta #18 : 09/07/2019, 04:54:06 am »

Hola

Me refiero a que si usas deducción natural una de las reglas es que si bajo una suposición arbitraria [texx]p[/texx] deduzco [texx]q[/texx] entonces la regla de introducción del implicador da una deducción de [texx]p \rightarrow q[/texx], sin suposiciones (se dice que has descartado la suposición [texx]p[/texx]).

Vale... No entiendo cómo esto nos ayuda a probar la validez el razonamiento... :llorando: :enojado:.

Suelo marearme mucho y perder el foco de atención en todo esto. Me concentré mucho en entender la cita y ahora me olvidé cómo debíamos proseguir en nuestra prueba.

Creo que esto ya lo discutimos en algún hilo, donde hacías demostraciones usando deducción natural.

Seguramente haya mucha redundancia entre este hilo y los demás. El problema está en que ante dos enunciados que me parecen tan distintos recurro a ustedes, porque yo siento que no puedo solo. Esto me ocurre porque yo creo haber aprendido y ante el cambio de otro razonamiento matemático, se me nubla la vista parcialmente.

Me refería simplemente a deducir [texx]\neg r[/texx] a partir de las premisas, nada más. "Demostrar una suposición" no significa nada a nivel técnico, solo decía que debes dar una demostración válida de lo que tú has llamado "suposición" (es decir, [texx]\neg r[/texx]).

Claro, pero siento como que nos hemos ido por las ramas (aunque no lo sea). ¿Cómo damos una demostración válida de [texx]\neg r[/texx]? No lo veo porque no veo que se pueda demostrar [texx]\neg r[/texx] (no me parece una proposición, como lo es "Si [texx]f[/texx] es derivable entonces es continua" o "Todo número natural distinto de [texx]1[/texx] puede escribirse como un único producto de números primos sin importar el orden de los factores").

Por cierto, he visto que preguntas mucho sobre demostraciones formales en el foro. ¿Es para alguna asignatura de la universidad, o es por interés propio?

Mitad y mitad :sonrisa:. Es para un compañero de la universidad pero a la vez me ayuda a mí entender estas cosas, porque me encanta estudiar esto (por más que lo aprenda una y otra vez con el correr de la apertura de hilos muy parecidos, porque no soy capaz de ver las similitudes...).

Si es por interés personal, y como creo recordar que te gustaba la informática, ¿has probado alguna vez algún demostrador interactivo de teoremas como Coq o Agda? Creo que te podría gustar y ser útil.

Gracias por acordarte. Aprecio tu interés. Me gusta la informática pero jamás se me ocurriría diseñar un lenguaje de programación diseñado a demostración de teoremas porque últimamente estoy creyendo que necesitaría años y años para recopilar todos los axiomas y todas las posibles combinaciones de demostraciones posibles (¿cuándo sabemos que algo es "evidente por sí mismo"? o, ¿cómo sabemos que el programa no cruzará los cables para que dos pruebas del mismo enunciado no sean contradictorias?). Suponer todo eso me aniquila, porque no quiero diseñar (ni testear) un programa al que le pasen esas cosas, por más que sea poco o nada probable.

Así que no he probado Coq ni Agda y jamás había escuchado hablar de ellos. Pero buscando por la web parecen muy prometedores e interesantes pero por fuera de mi alcance (tengo una máquina con Windows, además nunca usé Linux o Mac OS por ejemplo).

Saludos
En línea
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 801



Ver Perfil
« Respuesta #19 : 09/07/2019, 06:15:25 am »

Perdona, es culpa mía que enseguida me voy por las ramas haciendo comentarios que no vienen al caso.

Me refiero a que si usas deducción natural una de las reglas es que si bajo una suposición arbitraria [texx]p[/texx] deduzco [texx]q[/texx] entonces la regla de introducción del implicador da una deducción de [texx]p \rightarrow q[/texx], sin suposiciones (se dice que has descartado la suposición [texx]p[/texx]).

Vale... No entiendo cómo esto nos ayuda a probar la validez el razonamiento... :llorando: :enojado:.

En este caso en nada. Trataba de darle una explicación al hecho de que hayas metido una suposición "por la cara" (en sistemas de deducción natural puedes hacerlo, pero después debes descartarla usando la regla de introducción del implicador). Mejor olvida todo esto y quédate con que no puedes introducir suposiciones arbitrarias.

Cita
Suelo marearme mucho y perder el foco de atención en todo esto. Me concentré mucho en entender la cita y ahora me olvidé cómo debíamos proseguir en nuestra prueba.

Pues, ¡exactamente igual que antes, cuando teníamos la [texx]p[/texx]!. Fíjate que antes hemos dado una demostración de [texx]\neg r[/texx] a partir de [texx]\neg s[/texx] y [texx]5)[/texx] (numeración de la prueba antigua), que no involucran ninguna [texx]p[/texx]. Para obtener ahora [texx]\neg s[/texx] usas la premisa [texx]3)[/texx] (numeración nueva) y el antiguo [texx]5)[/texx] es exactamente la premisa [texx]2)[/texx] actual. Así que puedes hacer exactamente el mismo razonamiento para obtener [texx]\neg r[/texx].

Cita
Seguramente haya mucha redundancia entre este hilo y los demás. El problema está en que ante dos enunciados que me parecen tan distintos recurro a ustedes, porque yo siento que no puedo solo. Esto me ocurre porque yo creo haber aprendido y ante el cambio de otro razonamiento matemático, se me nubla la vista parcialmente.

No te lo tomes a mal (no es nada malo), pero creo que te falta un punto de "madurez matemática" (o lógica, en este caso). Esto quiere decir que te falta un poco de práctica con demostraciones formales de este estilo. En realidad, todas siguen más o menos la misma estructura, y con suficiente práctica no te debería costar mucho hacer demostraciones formales de este nivel de dificultad, incluso debería convertirse en algo más o menos mecánico. La clave está en ser capaz de explicar con palabras la deducción, una vez tienes claro cómo va el argumento traducirlo a reglas a aplicar y demás es lo de menos.

Cita
Claro, pero siento como que nos hemos ido por las ramas (aunque no lo sea). ¿Cómo damos una demostración válida de [texx]\neg r[/texx]? No lo veo porque no veo que se pueda demostrar [texx]\neg r[/texx] (no me parece una proposición, como lo es "Si [texx]f[/texx] es derivable entonces es continua" o "Todo número natural distinto de [texx]1[/texx] puede escribirse como un único producto de números primos sin importar el orden de los factores").

Con demostración aquí me refiero a una demostración formal. Es decir, una demostración del estilo que estás haciendo (aplicando reglas de inferencias y demás) que pruebe que de las tres premisas que tienes se sigue [texx]\neg r[/texx].

(Inciso, o ida por las ramas: Una proposición como "Si [texx]f[/texx] es derivable entonces es continua" es una proposición igual de válida que [texx]\neg r[/texx] una vez formalizada, y puedes dar una demostración formal del mismo estilo de las que estamos haciendo aquí, solo que mucho más larga y difícil. De hecho, precisamente para esto se inventaron los cálculos deductivos en lógica, para dar demostraciones formales de proposiciones matemáticas.)

Cita
Mitad y mitad :sonrisa:. Es para un compañero de la universidad pero a la vez me ayuda a mí entender estas cosas, porque me encanta estudiar esto (por más que lo aprenda una y otra vez con el correr de la apertura de hilos muy parecidos, porque no soy capaz de ver las similitudes...).

La lógica es muy divertida, a mí también me encanta.  :cara_de_queso: Sobre lo de no ver las similitudes, es cuestión de práctica como te he dicho. Tienes que pasar de fijarte en razonamientos muy concretos de unas proposiciones muy concretas a ver el bosque, es decir, a cuándo te enfrentes con la prueba de algo pensar "ah, quiero probar una conjunción, así que voy a probar cada una de las proposiciones que los componen por separado, voy a mirar qué premisas tengo y puedo usar para ello, etc". A veces también me da la sensación de que eres demasiado formalista y pierdes de vista el significado intuitivo de las cosas. Hay que entender las reglas, por qué funcionan a nivel intutivo, qué significan los conectores a nivel intuitivo, etc. Hay que aprovechar la intuición y el significado de las cosas, es una de las pocas ventajas que tenemos sobre las máquinas.

Cita
Gracias por acordarte. Aprecio tu interés. Me gusta la informática pero jamás se me ocurriría diseñar un lenguaje de programación diseñado a demostración de teoremas porque últimamente estoy creyendo que necesitaría años y años para recopilar todos los axiomas y todas las posibles combinaciones de demostraciones posibles (¿cuándo sabemos que algo es "evidente por sí mismo"? o, ¿cómo sabemos que el programa no cruzará los cables para que dos pruebas del mismo enunciado no sean contradictorias?). Suponer todo eso me aniquila, porque no quiero diseñar (ni testear) un programa al que le pasen esas cosas, por más que sea poco o nada probable.

Así que no he probado Coq ni Agda y jamás había escuchado hablar de ellos. Pero buscando por la web parecen muy prometedores e interesantes pero por fuera de mi alcance (tengo una máquina con Windows, además nunca usé Linux o Mac OS por ejemplo).

En realidad no es que diseñes un lenguaje de programación para demostrar teoremas. Estos lenguajes ya tienen las reglas de la lógica incorporadas y te sirven para hacer lo mismo que hacemos aquí con las demostraciones formales, pero validadas por el programa, de manera que te aseguras de que no has cometido errores o has usado reglas de manera incorrecta.
De todas maneras, aprender algo de Coq o Agda, aunque sea interesante, no es tan fácil y lleva su tiempo.

Sobre lo de recopilar axiomas y demás no tienes por qué hacerlo, ya lo han hecho muchos lógicos antes por nosotros. En cualquier libro de lógica puedes encontrar cálculos deductivos con unos pocos axiomas y unas pocas reglas que te permiten demostrar cualquier teorema válido.

En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Páginas: [1] 2   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!