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Autor Tema: Demostrar que si A= f(x,y) se cumple que, 2B+3= primo para B distinto A  (Leído 752 veces)
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juan luis
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« : 05/07/2019, 03:40:05 am »

Buenos días.

Me gustaría que me ayudaran a encontrar la demostración siguiente:

       [texx]A=2x^2+2xy+4x+3y[/texx]

Demostrar que para todo valor entero y positivo se cumple que:

        [texx]2B+3 = \textrm{primo}[/texx]    para todo [texx]B\neq{A}[/texx]

Muchas gracias
Un saludo
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 05/07/2019, 05:18:42 am »

Hola

Buenos días.

Me gustaría que me ayudaran a encontrar la demostración siguiente:

       [texx]A=2x^2+2xy+4x+3y[/texx]

Demostrar que para todo valor entero y positivo se cumple que:

        [texx]2B+3 = \textrm{primo}[/texx]    para todo [texx]B\neq{A}[/texx]

Muchas gracias
Un saludo

No se entiende muy bien lo que planteas, pero hago una interpretación.

[texx]A[/texx] es un valor que depende de de [texx]x[/texx] y de [texx]y[/texx]. Por tanto supongo que en realidad no es un valor fijo. Supongo (pero deberías de aclararlo) que [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] son enteros.

Intuyo que lo que quieres probar es que si no existen valores enteros [texx]x,y[/texx]  no negativos tales que:

[texx]B=2x^2+2xy+4x+3y [/texx]

entonces [texx]2B+3[/texx]es primo.

¿Es así?.

En es caso observa que:

[texx]2x^2+2xy+4x+3y=2x(x+y)+3(x+y)+x=(2x+3)(x+y)+x[/texx]

y de ahí:

[texx]2(2x^2+2xy+4x+3y)+3=2(2x+3)(x+y)+2x+3=(2x+3)(2(x+y)+1)[/texx]   (*)

Ahora si [texx]2B+3[/texx] NO es primo, es producto de dos números impares:

[texx](2B+3)=(2n+1)(2m+1)[/texx] con [texx]m\geq n\geq 1[/texx].

Tomando [texx]x=n-1\geq 0[/texx] e [texx]y=m+1-n\geq 1[/texx] y aplicando (*):

[texx](2B+3)=(2x+3)(2(x+y)+1)=2(2x^2+2xy+4x+3y)+3[/texx]

y por tanto:

[texx]B=2x^2+2xy+4x+3y[/texx] para ciertos valores de [texx]x,y[/texx] enteros.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #2 : 05/07/2019, 05:52:51 am »



Hola, Juan Luis.

Tampoco estaba muy seguro de lo que planteabas; pero intuyo qué buscas y creo que lo que buscas no es posible. Precisamente nuestro amigo Goldbach descubrió esto que puedes leer aquí

https://www.gaussianos.com/existen-polinomios-que-den-valores-primos-para-todo-numero-natural/

Saludos.
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juan luis
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« Respuesta #3 : 05/07/2019, 04:57:11 pm »

Hola
para [texx]A=2x^2+2xy+4x+3y[/texx]
si damos a x e y valores enteros positivos, obtenemos una serie de números como  3, 6, 9,11,12, 15, 16, 18,23, 24, .........
si de los números naturales eliminamos estos números tendremos la serie  [texx]B[/texx] = 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13,14,17, 19, 20, ........

por eso digo para [texx]B\neq{A}[/texx]  siempre  [texx]2B+3=\textrm{primo}[/texx] 

por ejemplo:

     [texx]2*5+3=13[/texx]

     [texx]2*10+3=23[/texx]

     [texx]2*17+3=37[/texx]

     [texx]2*20+3=43[/texx]

La prepuesta era demostrar que siempre ocurre esto
gracias por su ayuda.

Un saludo
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ciberalfil
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« Respuesta #4 : 05/07/2019, 06:07:54 pm »

Es ingenioso, pero será mas facil encontrar un contraejemplo, es decir un caso en que no se cumpla, a lo mejor debes llegar hasta 100 para encontrarlo pero seguro que existe.

Salu2
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feriva
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« Respuesta #5 : 05/07/2019, 07:14:56 pm »

Hola
para [texx]A=2x^2+2xy+4x+3y[/texx]
si damos a x e y valores enteros positivos, obtenemos una serie de números como  3, 6, 9,11,12, 15, 16, 18,23, 24, .........
si de los números naturales eliminamos estos números tendremos la serie  [texx]B[/texx] = 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13,14,17, 19, 20, ........

por eso digo para [texx]B\neq{A}[/texx]  siempre  [texx]2B+3=\textrm{primo}[/texx] 

por ejemplo:

     [texx]2*5+3=13[/texx]

     [texx]2*10+3=23[/texx]

     [texx]2*17+3=37[/texx]

     [texx]2*20+3=43[/texx]

La prepuesta era demostrar que siempre ocurre esto
gracias por su ayuda.

Un saludo

Hola, Juan Luis. Pero cómo se van dando los valores, ¿cuál es el patrón para darlos?

Parece que es

x=0;y=1 aquí sale 3

x=0;y=2 aquí sale 5

x=0;y=3 aquí sale 9

x=1;y=1 aquí sale 11

x=0;y=4 aquí 12

x=0;y=5 aquí 15

x=2;y=0 aquí 16

x=0;y=6 aquí 18...

¿Qué forma tiene esto, cuál es la regla? Porque ahí es donde va a estar lo difícil, si no hay una regla fija...

Saludos.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #6 : 05/07/2019, 10:17:29 pm »

Un algoritmo para calcular los primeros 1000 es:
Spoiler (click para mostrar u ocultar)
Aunque el algoritmo que pones "no de todos los primos" no lo sé,  la verdad que da muchísimos, tasteando   vi que todos eran primos pero claro sólo había que modificar el algoritmo para ver si se cumplía para ciertos valores , pero como soy un ignorante en programación,espera una solución mejor.
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geómetracat
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« Respuesta #7 : 06/07/2019, 07:06:41 am »

No entiendo por qué le dais más vueltas a esto. La respuesta que dio Luis Fuentes cierra totalmente el tema: es cierto que todos los números de la forma [texx]2B+3[/texx] donde [texx]B[/texx] no es de la forma [texx]2x^2+2xy+4x+3y[/texx] son primos.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #8 : 06/07/2019, 11:03:38 am »


Hola, geómetracat.

No entiendo por qué le dais más vueltas a esto. La respuesta que dio Luis Fuentes cierra totalmente el tema

Bueno, digamos que la respuesta de Luis contesta a la pregunta de Juan Luis, pero creo que la cuestión tiene curiosidades que comentar.

Lo que preguntaba a Juan Luis en mi última respuesta era cómo dar valores a “x” e “y” para obtener soluciones de números naturales consecutivas de la expresión “A” (no necesariamente desde cero, consecutivos a partir de donde sea).

Si él tuviera una forma de hacer esto, entonces encontraría números digamos A=a y A=b tales que conocería también los enteros que hay entre “a” y “b” no pertenecientes a “A”, pudiendo calcular con una simple operación los primos correspondientes (en algunos casos, “a” y “b” podrían no sólo ser soluciones de A consecutivas sino también naturales consecutivos; pero creo que debe de haber muy pocos caso así, intuyo).

Si se pudiera hacer eso, entonces podríamos buscar un “a” arbitrario lo suficientemente grande como para que el primo obtenido a partir de algún número contenido en (a,b) fuera mayor que [texx]2^{82.589.933}-1
 [/texx] por ejemplo; que, creo, es el primo más grande encontrado hasta ahora, si no se ha encontrado otro últimamente.

Es más, aunque no pudiéramos encontrar unos “A” consecutivos por la dificultad que entrañe esto, a lo mejor sí podríamos encontrar unos “A” lo suficientemente cercanos como para acotar una zona que se pudiera rastrear en un tiempo razonable (quizá soy muy optimista, hablo sin probar nada, pero así a vista de pájaro me parece que podría valer para algo).

Saludos.
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geómetracat
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« Respuesta #9 : 06/07/2019, 11:17:10 am »

Ya entiendo. Aunque la verdad es que no creo que esto aporte nada nuevo a la búsqueda de primos, porque saber qué números son de la forma [texx]A[/texx] es (probablemente) más difícil que comprobar que un número dado es primo.

Tal como yo lo veo, esto es una versión un poco más rebuscada de la siguiente observación:
Un número [texx]n[/texx] es primo si no es de la forma [texx](x+1)(y+1) = xy+x+y+1[/texx] para algunos [texx]x,y \geq1[/texx], que es obvia ya que los números de la forma [texx](x+1)(y+1)[/texx] son exactamente los números compuestos. Ahora bien, usar esto para encontrar primos es más o menos lo mismo que usar la criba de Eratóstenes.
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sqrmatrix
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« Respuesta #10 : 06/07/2019, 12:06:22 pm »

Saludos, juan luis, y al resto de participantes y visitantes.

Creo que lo que voy a exponer aquí es más o menos lo mismo que explicó Luis Fuentes, aunque desarrollado de una manera algo distinta. Si no me he equivocado en las demostraciones, el término [texx]\displaystyle B[/texx] de los primos de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] es necesariamente un valor del polinomio indicado [texx]\displaystyle A=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y[/texx]. Es decir, no existen primos de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] tales que [texx]\displaystyle B\ne A[/texx].

Supongamos que tenemos un primo [texx]\displaystyle p[/texx] de la forma [texx]\displaystyle p=2\cdot B+3[/texx]. Tenemos que determinar en qué condiciones se cumple [texx]\displaystyle B\ne2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y[/texx]. Para ello, planteamos la igualdad [texx]\displaystyle B=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y[/texx], y vemos en qué casos tiene solución. Supondremos, para ello, que tanto [texx]\displaystyle x[/texx] como [texx]\displaystyle y[/texx] son enteros.

Reordenando y agrupando términos, tenemos la ecuación de segundo grado:

[texx]\displaystyle 2\cdot x^2+(2\cdot y+4)\cdot x+3\cdot y-B=0[/texx]

La solución es:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

[texx]\displaystyle x=\dfrac{-(y+2)\pm\sqrt{y^2-2\cdot y+2\cdot B+4}}{2}[/texx]

Puesto que [texx]\displaystyle x[/texx] es entero, necesitamos que la solución sea entera. Para ello, es necesario que la raíz cuadrada sea entera, y para que eso ocurra, su interior ha de ser un cuadrado entero. También tiene que ocurrir que el numerador de la fracción sea par. Si el interior de la raíz cuadrada es un cuadrado, y si [texx]\displaystyle y[/texx] es par, el interior de la raíz cuadrada será par al ser la suma de valores pares, por lo que la raíz cuadrada también lo será. Y también será par el valor [texx]\displaystyle -(y+2)[/texx]. Por tanto, su suma será par también. Y si [texx]\displaystyle y[/texx] es impar, el interior de la raíz cuadrada será impar al ser la suma de un impar con valores pares, por lo que la raíz cuadrada será igualmente impar. Pero el valor de [texx]\displaystyle -(y+2)[/texx] será igualmente impar al ser la suma de un impar con un par. Y la suma de este valor impar con el de la raíz cuadrada impar será un valor par. Por tanto, tenemos asegurado que si la raíz cuadrada es entera, la solución [texx]\displaystyle x[/texx] también lo será.

Podemos, por tanto, plantear la ecuación:

[texx]\displaystyle y^2-2\cdot y+2\cdot B+4=z^2[/texx]

Que puede verse como una ecuación de segundo grado:

[texx]\displaystyle y^2-2\cdot y+2\cdot B+4-z^2=0[/texx]

Su solución vendrá dada por:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

[texx]\displaystyle y=1\pm\sqrt{z^2-2\cdot B-3}[/texx]

Volvemos a estar en la misma situación que antes, que es que necesitamos que [texx]\displaystyle y[/texx] sea entero, lo que significa que la raíz cuadrada debe ser entera, lo que significa que su interior ha de ser un cuadrado entero. Podemos plantear la ecuación:

[texx]\displaystyle z^2-2\cdot B-3=t^2[/texx]

Esta ecuación puede verse como:

[texx]\displaystyle 2\cdot B+3=z^2-t^2[/texx]

Obsérvese que tenemos el valor [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] expresado como una diferencia de cuadrados. Puesto que [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] es impar, siempre podrá expresarse como una diferencia de cuadrados, independientemente de que sea primo o compuesto, lo que significa que siempre encontraremos una solución, entera en este caso.

Lo que buscamos es un valor para [texx]\displaystyle z[/texx]. Para obtenerlo, obsérvese que podemos escribir lo anterior como [texx]\displaystyle 2\cdot B+3=(z+t)\cdot(z-t)[/texx]. Sea ahora una expresión de [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] como producto de dos enteros de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot B+3=r\cdot s[/texx], con [texx]\displaystyle r\le s[/texx] (donde [texx]\displaystyle r[/texx] puede tomar el valor [texx]\displaystyle 1[/texx], caso que ocurrirá cuando [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] sea primo). Entonces tenemos que [texx]\displaystyle 2\cdot B+3=s\cdot r=(z+t)\cdot(z-t)[/texx], donde podemos plantear las igualdades:

[texx]\displaystyle
s=z+t \\ \\
r=z-t
[/texx]

Se deduce de dichas igualdades que [texx]\displaystyle z=\dfrac{s+r}{2}[/texx]. Obtenido [texx]\displaystyle z[/texx], podemos obtener [texx]\displaystyle x[/texx] e [texx]\displaystyle y[/texx], que serán una solución a la ecuación [texx]\displaystyle B=2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y[/texx], independientemente de que [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] sea primo o compuesto. Es decir, no existen primos de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] tales que la ecuación [texx]\displaystyle 2\cdot x^2+(2\cdot y+4)\cdot x+4\cdot x+3\cdot y=B[/texx] no tenga solución entera.

Podemos obtener todas las soluciones enteras calculando todas las expresiones de [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] como diferencia de cuadrados y determinando todos los valores de [texx]\displaystyle x[/texx] e [texx]\displaystyle y[/texx] a partir de los valores de [texx]\displaystyle z[/texx] hallados.

feriva y geómetracat, mientras escribía esto habéis escrito unas entradas. Creo que esto responde a las dudas planteadas. Indica que no existen primos con las características indicadas, y además proporciona una forma de obtener los valores de [texx]\displaystyle x[/texx] e [texx]\displaystyle y[/texx] que dan el valor de [texx]\displaystyle B[/texx] cuando se aplican al polinomio [texx]\displaystyle 2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y[/texx]. Todo esto si no me he equivocado, claro :sonrisa:.
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« Respuesta #11 : 06/07/2019, 12:07:18 pm »

Ya entiendo. Aunque la verdad es que no creo que esto aporte nada nuevo a la búsqueda de primos, porque saber qué números son de la forma [texx]A[/texx] es (probablemente) más difícil que comprobar que un número dado es primo.

Tal como yo lo veo, esto es una versión un poco más rebuscada de la siguiente observación:
Un número [texx]n[/texx] es primo si no es de la forma [texx](x+1)(y+1) = xy+x+y+1[/texx] para algunos [texx]x,y \geq1[/texx], que es obvia ya que los números de la forma [texx](x+1)(y+1)[/texx] son exactamente los números compuestos. Ahora bien, usar esto para encontrar primos es más o menos lo mismo que usar la criba de Eratóstenes.

Pues entonces nada, pensé que podría servir más :sonrisa:

Saludos.
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« Respuesta #12 : 06/07/2019, 12:13:52 pm »



feriva y geómetracat, mientras escribía esto habéis escrito unas entradas. Creo que esto responde a las dudas planteadas. Indica que no existen primos con las características indicadas, y además proporciona una forma de obtener los valores de [texx]\displaystyle x[/texx] e [texx]\displaystyle y[/texx] que dan el valor de [texx]\displaystyle B[/texx] cuando se aplican al polinomio [texx]\displaystyle 2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y[/texx]. Todo esto si no me he equivocado, claro :sonrisa:.

Hola, sqrmatrix. Muchas gracias, voy a mirarlo; pero parece que no nos servirá para batir el record del primo más grande :sonrisa:

Saludos.
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« Respuesta #13 : 06/07/2019, 12:20:23 pm »

Saludos, feriva.



feriva y geómetracat, mientras escribía esto habéis escrito unas entradas. Creo que esto responde a las dudas planteadas. Indica que no existen primos con las características indicadas, y además proporciona una forma de obtener los valores de [texx]\displaystyle x[/texx] e [texx]\displaystyle y[/texx] que dan el valor de [texx]\displaystyle B[/texx] cuando se aplican al polinomio [texx]\displaystyle 2\cdot x^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x+3\cdot y[/texx]. Todo esto si no me he equivocado, claro :sonrisa:.

Hola, sqrmatrix. Muchas gracias, voy a mirarlo; pero parece que no nos servirá para batir el record del primo más grande :sonrisa:

Saludos.

Lamentablemente no  :llorando:
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« Respuesta #14 : 08/07/2019, 03:34:39 pm »

Hola a todos

Muchas gracias por la demostración, que es muy interesante.

Feriva me pregunta si conozco algún patrón, para que los términos de la serie [texx]B[/texx]  salieran ordenados. La verdad es que yo no lo conozco, pero con un programa me imagino que lo puedes conseguir. Lo que si se puede es eliminar los términos de[texx]A[/texx]  que salen repetidos.

  Las sucesiones para  [texx]A=2x^2+2xy+4x+3y[/texx] son las siguientes:

        para  [texx]x=0[/texx]  será  [texx]A=3y = 3,6,9,12,15.....[/texx]
                 [texx]x=1[/texx]          [texx]A=6+5y = 6, 11, 16, 21, 26, 31..... [/texx]
                 [texx]x=2[/texx]          [texx]A=16+7y= 16, 23, 30, 37, 44.....[/texx]
                 [texx]x=3\textrm{ queda eliminado}[/texx]

  Cada termino de cada sucesión, es un valor de [texx]x[/texx] que tenemos que eliminar, de esta manera los valores de [texx]x[/texx] que quedan, representan la serie [texx]B[/texx]

   Un saludo a todos 
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« Respuesta #15 : 09/07/2019, 03:21:48 pm »

Buenos días

   Repasando la demostración de Sqrmatrix, encontré que modificando el radical  [texx]\sqrt[ ]{x^2-2x+2B+4}[/texx] hacemos  que 

      [texx]y=\sqrt[ ]{x^2-2x+N+1}[/texx] 

   Cuando [texx]N[/texx]  es primo solo tenemos un cuadrado perfecto  donde  [texx]y=x=\displaystyle\frac{N+1}{2}[/texx] 

   Cuando [texx]N[/texx]  es compuesto tiene ademas de la solución anterior, tantos cuadrados perfectos como primos componen [texx]N[/texx]

   Ejemplo:
 
    para [texx]N=67[/texx]   tenemos que  [texx]y=x=34[/texx]

    para [texx]N=105[/texx]   para [texx]x=5[/texx]  tenemos que  [texx]y=11[/texx]

                                para [texx]x=9[/texx]  tenemos  que [texx]y=13[/texx]

                                para [texx]x=17[/texx]  tenemos que [texx]y=19[/texx]

                                para [texx]x=53[/texx]   tenemos que [texx]y=53[/texx]

     Bueno se me ocurrió, por si le pudiera interesar a alguien del foro.
 
     Muchas gracias y un saludo.
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feriva
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« Respuesta #16 : 09/07/2019, 03:35:41 pm »

Hola a todos

Muchas gracias por la demostración, que es muy interesante.

Feriva me pregunta si conozco algún patrón, para que los términos de la serie [texx]B[/texx]  salieran ordenados. La verdad es que yo no lo conozco, pero con un programa me imagino que lo puedes conseguir. Lo que si se puede es eliminar los términos de[texx]A[/texx]  que salen repetidos.

  Las sucesiones para  [texx]A=2x^2+2xy+4x+3y[/texx] son las siguientes:

        para  [texx]x=0[/texx]  será  [texx]A=3y = 3,6,9,12,15.....[/texx]
                 [texx]x=1[/texx]          [texx]A=6+5y = 6, 11, 16, 21, 26, 31..... [/texx]
                 [texx]x=2[/texx]          [texx]A=16+7y= 16, 23, 30, 37, 44.....[/texx]
                 [texx]x=3\textrm{ queda eliminado}[/texx]

  Cada termino de cada sucesión, es un valor de [texx]x[/texx] que tenemos que eliminar, de esta manera los valores de [texx]x[/texx] que quedan, representan la serie [texx]B[/texx]

   Un saludo a todos 

Gracias, Juan Luis.

Saludos.
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sqrmatrix
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« Respuesta #17 : 10/07/2019, 04:51:52 am »

Saludos, juan luis, y al resto de participantes y visitantes.

Buenos días

   Repasando la demostración de Sqrmatrix, encontré que modificando el radical  [texx]\sqrt[ ]{x^2-2x+2B+4}[/texx] hacemos  que 

      [texx]y=\sqrt[ ]{x^2-2x+N+1}[/texx] 

   Cuando [texx]N[/texx]  es primo solo tenemos un cuadrado perfecto  donde  [texx]y=x=\displaystyle\frac{N+1}{2}[/texx] 

   Cuando [texx]N[/texx]  es compuesto tiene ademas de la solución anterior, tantos cuadrados perfectos como primos componen [texx]N[/texx]

   Ejemplo:
 
    para [texx]N=67[/texx]   tenemos que  [texx]y=x=34[/texx]

    para [texx]N=105[/texx]   para [texx]x=5[/texx]  tenemos que  [texx]y=11[/texx]

                                para [texx]x=9[/texx]  tenemos  que [texx]y=13[/texx]

                                para [texx]x=17[/texx]  tenemos que [texx]y=19[/texx]

                                para [texx]x=53[/texx]   tenemos que [texx]y=53[/texx]

     Bueno se me ocurrió, por si le pudiera interesar a alguien del foro.
 
     Muchas gracias y un saludo.

Tu observación es muy interesante, y haciendo algunas operaciones aplicando lo que has indicado, me he encontrado algunas cosas interesantes. Partimos del primo [texx]\displaystyle p=2\cdot B+3[/texx], y haremos como has hecho tú, sustituir el valor [texx]\displaystyle 2\cdot B+3[/texx] por [texx]\displaystyle p[/texx] en las fórmulas.

Empezamos viendo el valor que tomará [texx]\displaystyle z[/texx]. Como bien has observado, sólo hay una expresión de [texx]\displaystyle p[/texx] como diferencia de cuadrados, o como producto de dos enteros, que es [texx]\displaystyle p=1\cdot p[/texx]. Por tanto, el valor de [texx]\displaystyle z[/texx] será [texx]\displaystyle z=\dfrac{p+1}{2}[/texx].

Podemos ahora sustituir este valor en la fórmula que nos da el valor de [texx]\displaystyle y[/texx]. Antes de eso, vamos a expresar el valor de [texx]\displaystyle y[/texx] haciendo la sustitución que indicaste antes. En ese caso, nos queda que [texx]\displaystyle y=1\pm\sqrt{z^2-p}[/texx]. Sustituyendo el valor que hemos obtenido para [texx]\displaystyle z[/texx], nos queda que [texx]\displaystyle y=1\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2-p}[/texx]. Desarrollando nos queda al final:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

[texx]\displaystyle y=1\pm\dfrac{p-1}{2}[/texx]

Ahora podemos sustituir este valor en la fórmula de [texx]\displaystyle x[/texx], pero antes vamos a hacer la sustitución que indicaste en tu comentario. Nos queda [texx]\displaystyle x=\dfrac{-(y+2)\pm\sqrt{y^2-2\cdot y+p+1}}{2}[/texx]. Ahora sustituiremos el valor de [texx]\displaystyle y[/texx]. Para simplificar, haremos la sustitución de [texx]\displaystyle y[/texx] en dos partes. La primera cuando la raíz cuadrada está sumando, y la segunda cuando está restando (esta segunda no entra dentro de la especificación del problema que planteaste, pues se indicaba que [texx]\displaystyle y[/texx] era positivo, pero creo que es de interés obtenerla). Empecemos la sustitución de [texx]\displaystyle y[/texx] por [texx]\displaystyle 1+\dfrac{p-1}{2}=\dfrac{p+1}{2}[/texx]. En este caso, nos queda la fórmula de [texx]\displaystyle x[/texx] como [texx]\displaystyle x=\dfrac{-\left(\dfrac{p+1}{2}+2\right)\pm\sqrt{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{p+1}{2}+p+1}}{2}[/texx]. Desarrollando, nos queda al final:

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[texx]\displaystyle
\left\{
 \begin{array}{l}
  x=\dfrac{-p-3}{2} \\
  x=-1
 \end{array}
\right.
[/texx]

Fíjate que si tomamos el valor positivo de [texx]\displaystyle y[/texx] y la raíz cuadrada positiva de la expresión de [texx]\displaystyle x[/texx], el valor de [texx]\displaystyle x[/texx] será [texx]\displaystyle -1[/texx], independientemente del valor de [texx]\displaystyle p[/texx]. Lamentablemente esto ocurre también con cualquier compuesto [texx]\displaystyle N[/texx], pues siempre se puede expresar como [texx]\displaystyle N=1\cdot N[/texx], con lo cual la aplicación de estos cálculos generará estos mismos resultados (sustituyendo [texx]\displaystyle p[/texx] por [texx]\displaystyle N[/texx]).

Veamos ahora la sustitución de [texx]\displaystyle y[/texx] cuando es negativo. Tenemos que [texx]\displaystyle y=1-\dfrac{p-1}{2}=\dfrac{3-p}{2}[/texx]. Sustituyendo en la fórmula de [texx]\displaystyle x[/texx] nos queda [texx]\displaystyle x=\dfrac{-\left(\dfrac{3-p}{2}+2\right)\pm\sqrt{\left(\dfrac{3-p}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{3-p}{2}+p+1}}{2}[/texx]. Desarrollando, nos queda al final:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

[texx]\displaystyle
\left\{
 \begin{array}{l}
  x=-2 \\
  x=\dfrac{p-3}{2}
 \end{array}
\right.
[/texx]

Aquí obtenemos otro resultado interesante, que obtenemos cuando tomamos el valor negativo de [texx]\displaystyle y[/texx] y la raíz cuadrada negativa de la expresión de [texx]\displaystyle x[/texx]. En este caso, el valor de [texx]\displaystyle x[/texx] será [texx]\displaystyle -2[/texx], como antes, independientemente del valor de [texx]\displaystyle p[/texx]. Y también como antes, esto ocurre también con cualquier compuesto [texx]\displaystyle N[/texx].
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« Respuesta #18 : 10/07/2019, 04:59:41 pm »

Buenos días a todos.

  Muy interesante Sqrmatrix, como

       [texx]y=1\pm{}\sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{P+1}{2})^2-P}[/texx]     y también 

       [texx]y=1\pm{\displaystyle\frac{P-1}{2}}[/texx]

   Eliminamos el [texx]1[/texx] e igualamos las dos expresiones,  y como  [texx]P=\sqrt[2 ]{P^2}[/texx]   podemos decir que:

       [texx](\displaystyle\frac{P+1}{2})^2=(\displaystyle\frac{P-1}{2})^2+(\sqrt[2 ]{P})^2[/texx]   luego tenemos un triangulo rectángulo distinto

   para cada valor de  [texx]P[/texx] 

   hipotenusa [texx]=\displaystyle\frac{P+1}{2}[/texx] 

   cateto [texx]=\displaystyle\frac{P-1}{2}[/texx]

   cateto [texx]=(\sqrt[ ]{P})[/texx] 

   Ejemplo para  [texx]P=37[/texx]

    hipotenusa [texx]=19[/texx] 

    cateto [texx]=18[/texx]

    cateto [texx]=\sqrt[ ]{37}[/texx]

   Muchas gracias y un saludo
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« Respuesta #19 : 11/07/2019, 05:57:52 am »

Saludos, juan luis.

Buenos días a todos.

  Muy interesante Sqrmatrix, como

       [texx]y=1\pm{}\sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{P+1}{2})^2-P}[/texx]     y también 

       [texx]y=1\pm{\displaystyle\frac{P-1}{2}}[/texx]

   Eliminamos el [texx]1[/texx] e igualamos las dos expresiones,  y como  [texx]P=\sqrt[2 ]{P^2}[/texx]   podemos decir que:

       [texx](\displaystyle\frac{P+1}{2})^2=(\displaystyle\frac{P-1}{2})^2+(\sqrt[2 ]{P})^2[/texx]   luego tenemos un triangulo rectángulo distinto

   para cada valor de  [texx]P[/texx] 

   hipotenusa [texx]=\displaystyle\frac{P+1}{2}[/texx] 

   cateto [texx]=\displaystyle\frac{P-1}{2}[/texx]

   cateto [texx]=(\sqrt[ ]{P})[/texx] 

   Ejemplo para  [texx]P=37[/texx]

    hipotenusa [texx]=19[/texx] 

    cateto [texx]=18[/texx]

    cateto [texx]=\sqrt[ ]{37}[/texx]

   Muchas gracias y un saludo

Interesante. No se me había ocurrido verlo así, como un triángulo rectángulo. Lamentablemente uno de los catetos nunca será entero al ser la raíz cuadrada de un primo. Hubiera estado bien que hubiera tenido todos los lados enteros :sonrisa:.
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