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Autor Tema: Base ortogonal  (Leído 291 veces)
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YeffGC
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« : 05/07/2019, 01:25:23 am »

Ayuda para demostrar que
En todo espacio lineal de dimension infinita siempre hay una base ortogonal
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« Respuesta #1 : 05/07/2019, 05:10:05 am »

Hay que usar el axioma de elección, en forma de lema de Zorn.

El argumento es estándar: consideras el conjunto parcialmente ordenado por la inclusión de todos los conjuntos ortogonales de elementos del espacio, compruebas que la unión de una cadena es otro conjunto ortogonal, y por el lema de Zorn hay un conjunto ortogonal maximal [texx]B[/texx]. Ahora hay que ver que este conjunto maximal es base ortogonal. Si no lo fuera, habría algún elemento no nulo en [texx](\langle B \rangle)^\perp[/texx], y añadiendo este elemento obtendríamos un conjunto ortogonal estrictamente mayor, contradicción.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #2 : 05/07/2019, 07:51:03 pm »

Hay que usar el axioma de elección, en forma de lema de Zorn.

El argumento es estándar: consideras el conjunto parcialmente ordenado por la inclusión de todos los conjuntos ortogonales de elementos del espacio, compruebas que la unión de una cadena es otro conjunto ortogonal, y por el lema de Zorn hay un conjunto ortogonal maximal [texx]B[/texx]. Ahora hay que ver que este conjunto maximal es base ortogonal. Si no lo fuera, habría algún elemento no nulo en [texx](\langle B \rangle)^\perp[/texx], y añadiendo este elemento obtendríamos un conjunto ortogonal estrictamente mayor, contradicción.

No puedo ocuparlo el lema porque no lo vi en clases
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« Respuesta #3 : 06/07/2019, 07:03:19 am »

Pues es la única forma que conozco de probarlo. De hecho hay que usar alguna forma del axioma de elección sí o sí.
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